Seja V um espaço vetorial sobre R e seja I o operador identidade de V. Dadas as bases B e C de V, mostre que [II]C^B é a matriz de mudança da base B para a base C.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se V é um espaço vetorial real e I:Vto V é o operador identidade, então a matriz de I que usa a base B no domínio e a base C no contradomínio coincide com a matriz de mudança de base de B para C. O conteúdo usado será a definição de representação matricial de um operador linear em bases diferentes e a definição de matriz de mudança de base.

Passo 2

Lembrando a definição de matriz de um operador linear: se T:Vto V e B=(b1,dots,bn), C=(c1,dots,cn) são bases de V, então a coluna j da matriz [T]C^B é precisamente o vetor de coordenadas de T(bj) expresso em C. Ou seja, a coluna j é [T(bj)]C.

Passo 3

Aplicando isso a T=I, temos I(bj)=bj. Portanto, a coluna j de [I]C^B é exatamente [bj]C, o vetor de coordenadas de bj na base C.

Passo 4

Por outro lado, a matriz de mudança de base de B para C, que chamaremos de PC B, é definida justamente como a matriz cujas colunas são [b1]C,dots,[bn]C. Além disso, ela satisfaz
[v]C = PC B,[v]B para todo vin V
Mas como I(v)=v, também vale
[v]C = [I(v)]C = [I]C^B,[v]B
Comparando, concluímos que [I]C^B tem exatamente o mesmo papel e as mesmas colunas que PC B.

Resposta

A matriz [I]C^B é a matriz de mudança de base de B para C.

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