Seja
um espaço vetorial sobre
e seja
o operador identidade de
. Dadas as bases
e
de
, mostre que
é a matriz de mudança da base
para a base
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é um espaço vetorial real e
é o operador identidade, então a matriz de
que usa a base
no domínio e a base
no contradomínio coincide com a matriz de mudança de base de
para
. O conteúdo usado será a definição de representação matricial de um operador linear em bases diferentes e a definição de matriz de mudança de base.
Passo 2
Lembrando a definição de matriz de um operador linear: se
e
,
são bases de
, então a coluna
da matriz
é precisamente o vetor de coordenadas de
expresso em
. Ou seja, a coluna
é
.
Passo 3
Aplicando isso a
, temos
. Portanto, a coluna
de
é exatamente
, o vetor de coordenadas de
na base
.
Passo 4
Por outro lado, a matriz de mudança de base de
para
, que chamaremos de
, é definida justamente como a matriz cujas colunas são
. Além disso, ela satisfaz
Mas como
, também vale
Comparando, concluímos que
tem exatamente o mesmo papel e as mesmas colunas que
.
Resposta
A matriz
é a matriz de mudança de base de
para
.