Dado \vec{A}=(2,-1,1) e \vec{B}=(1,3,2), calcule o vetor \vec{A} \times \vec{B} e determine seu módulo.

Passo 1

O enunciado fornece os vetores e pede duas coisas. Dados:
\vec{A}=(2,-1,1) e \vec{B}=(1,3,2).
As perguntas são:
  • Calcular o vetor \vec{A}\times\vec{B}.
  • Determinar o módulo (norma) de \vec{A}\times\vec{B}.

Passo 2

Relembrando a definição e a fórmula que vou usar (passo-a-passo didático).
O produto vetorial \vec{A}\times\vec{B} é um vetor perpendicular a \vec{A} e a \vec{B}, com direção dada pela regra da mão direita e módulo igual a |\vec{A}||\vec{B}|\sin\theta (onde \theta é o ângulo entre \vec{A} e \vec{B}). Para computar componentes, uso a representação por determinante (fórmula prática):
\vec{A}\times\vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{\mathbf{i}} & \hat{\mathbf{j}} & \hat{\mathbf{k}} \\\ A_x & A_y & A_z \\\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}
Aqui \hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}},\hat{\mathbf{k}} são os vetores unitários nas direções x,y,z. As componentes resultam das seguintes fórmulas explícitas:
(\vec{A}\times\vec{B})_x = A_y B_z - A_z B_y,
(\vec{A}\times\vec{B})_y = A_z B_x - A_x B_z,
(\vec{A}\times\vec{B})_z = A_x B_y - A_y B_x.
Explicando cada símbolo: A_x,A_y,A_z são as componentes de \vec{A} (aqui 2,-1,1) e B_x,B_y,B_z são as componentes de \vec{B} (aqui 1,3,2).

Passo 3

Calcular a componente x usando (\vec{A}\times\vec{B})_x = A_y B_z - A_z B_y.
Substituindo os valores:
(\vec{A}\times\vec{B})_x = (-1)\cdot 2 - 1\cdot 3 = -2 - 3 = -5.

Passo 4

Calcular a componente y usando (\vec{A}\times\vec{B})_y = A_z B_x - A_x B_z.
Substituindo os valores:
(\vec{A}\times\vec{B})_y = 1\cdot 1 - 2\cdot 2 = 1 - 4 = -3.

Passo 5

Calcular a componente z usando (\vec{A}\times\vec{B})_z = A_x B_y - A_y B_x.
Substituindo os valores:
(\vec{A}\times\vec{B})_z = 2\cdot 3 - (-1)\cdot 1 = 6 - (-1) = 6 + 1 = 7.

Passo 6

Montando o vetor a partir das componentes calculadas:
\vec{A}\times\vec{B} = (-5,\,-3,\,7).
Como verificação rápida e útil na prova: \vec{A}\times\vec{B} deve ser ortogonal a \vec{A} e a \vec{B}. Verifico com produto interno:
\vec{A}\cdot(\vec{A}\times\vec{B}) = 2(-5)+(-1)(-3)+1\cdot 7 = -10+3+7 = 0,
\vec{B}\cdot(\vec{A}\times\vec{B}) = 1(-5)+3(-3)+2\cdot 7 = -5-9+14 = 0.
Os zeros confirmam a ortogonalidade — sinal de que o cálculo está consistente.

Passo 7

Agora calcular o módulo (norma) de \vec{A}\times\vec{B}. A norma de um vetor (x,y,z) é \sqrt{x^2+y^2+z^2}. Aplicando:
\bigl\|\vec{A}\times\vec{B}\bigr\| = \sqrt{(-5)^2+(-3)^2+7^2} = \sqrt{25+9+49} = \sqrt{83}.
Opcional para entendimento: \sqrt{83} é a área do paralelogramo gerado por \vec{A} e \vec{B}, e também igual a |\vec{A}||\vec{B}|\sin\theta.

Resposta

\vec{A}\times\vec{B}=(-5,-3,7)\n \bigl\|\vec{A}\times\vec{B}\bigr\|=\sqrt{83}

Exercícios relacionados