Dado \vec{A}=(2,-1,1) e \vec{B}=(1,3,2), calcule o vetor \vec{A} \times \vec{B} e determine seu módulo.
Passo 1
O enunciado fornece os vetores e pede duas coisas. Dados: \vec{A}=(2,-1,1) e \vec{B}=(1,3,2).
As perguntas são:
Calcular o vetor \vec{A}\times\vec{B}.
Determinar o módulo (norma) de \vec{A}\times\vec{B}.
Passo 2
Relembrando a definição e a fórmula que vou usar (passo-a-passo didático).
O produto vetorial \vec{A}\times\vec{B} é um vetor perpendicular a \vec{A} e a \vec{B}, com direção dada pela regra da mão direita e módulo igual a |\vec{A}||\vec{B}|\sin\theta (onde \theta é o ângulo entre \vec{A} e \vec{B}). Para computar componentes, uso a representação por determinante (fórmula prática):
Aqui \hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}},\hat{\mathbf{k}} são os vetores unitários nas direções x,y,z. As componentes resultam das seguintes fórmulas explícitas:
(\vec{A}\times\vec{B})_x = A_y B_z - A_z B_y,
(\vec{A}\times\vec{B})_y = A_z B_x - A_x B_z,
(\vec{A}\times\vec{B})_z = A_x B_y - A_y B_x.
Explicando cada símbolo: A_x,A_y,A_z são as componentes de \vec{A} (aqui 2,-1,1) e B_x,B_y,B_z são as componentes de \vec{B} (aqui 1,3,2).
Passo 3
Calcular a componente x usando (\vec{A}\times\vec{B})_x = A_y B_z - A_z B_y.
Substituindo os valores: