Séries de Fourier em intervalos gerais
Expanda
, em
.
Expanda
Passo 1
O enunciado dá a função
definida no intervalo
e pede que a expandamos em série de Fourier nesse intervalo. Resumo do que é pedido e do que temos:
- Função dada:
para . - Intervalo de expansão:
(série com período ). - Pergunta a responder: obter a série de Fourier de
no intervalo — isto é, calcular os coeficientes e escrever a soma.
Passo 2
Vou lembrar a forma padrão da série de Fourier em
e explicar cada símbolo (para você aplicar direto na prova).
A expansão geral de uma função em
é
A expansão geral de uma função
Aqui:
-
é um inteiro positivo que indica o modo (harmônica). - As funções
e são as funções-coseno e seno com frequência ajustada ao período . - Os coeficientes são dados por integrais (a média e as projeções):
Explicando a ideia:
é a média da função no período;
mede quanto de cada cosseno aparece;
mede quanto de cada seno aparece. Na prova você só precisa aplicar essas integrais.
Passo 3
Calculando
para
.
Substituindo na fórmula,
Substituindo na fórmula,
A integral é fácil:
Portanto
Observação prática:
— já recupera o valor constante da função.
Passo 4
Calculando
para
.
Usamos
Usamos
Para integrar, note que
é uma constante. A primitiva de
é
. Então
Mas
para todo inteiro
, então a diferença é zero. Logo a integral é zero e
Passo 5
Calculando
para
.
A função
é ímpar em
(ou seja,
é função que muda de sinal ao trocar
por
), enquanto
é par. O produto é então ímpar. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico
é zero. Portanto
(Se preferir calcular diretamente, a primitiva daria
avaliada em
e
, que também leva a zero.)
Passo 6
Montando a série com os coeficientes encontrados:
-
então . -
e para todo .
Assim a série de Fourier fica simplesmente
Interpretação e comentário útil para a prova: a função constante já é igual à sua média no período; portanto a série de Fourier tem só o termo constante. Como a função periódica estendida é contínua e constante, a série converge pontualmente e uniformemente para
em toda a reta (no intervalo fundamental
e nos pontos de continuidade da extensão periódica).
Passo 7
Exemplo numérico rápido para fixar: se
(caso comum),
tem
,
,
, então a série é
também. Mesmo raciocínio, só que com
.