Séries de Fourier em intervalos gerais
Expanda f(x)=1, em -L<x<L.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=1 definida no intervalo -L<x<L e pede que a expandamos em série de Fourier nesse intervalo. Resumo do que é pedido e do que temos:
  • Função dada: f(x)=1 para -L<x<L.
  • Intervalo de expansão: -L<x<L (série com período 2L).
  • Pergunta a responder: obter a série de Fourier de f no intervalo -L<x<L — isto é, calcular os coeficientes e escrever a soma.

Passo 2

Vou lembrar a forma padrão da série de Fourier em -L<x<L e explicar cada símbolo (para você aplicar direto na prova).
A expansão geral de uma função f em -L,L é
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)+b_n\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right).
Aqui:
  • n é um inteiro positivo que indica o modo (harmônica).
  • As funções \cos\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right) e \sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right) são as funções-coseno e seno com frequência ajustada ao período 2L.
  • Os coeficientes são dados por integrais (a média e as projeções):
a_0=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\,dx,
a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx\quad (n\ge1),
b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx\quad (n\ge1).
Explicando a ideia: a_0/2 é a média da função no período; a_n mede quanto de cada cosseno aparece; b_n mede quanto de cada seno aparece. Na prova você só precisa aplicar essas integrais.

Passo 3

Calculando a_0 para f(x)=1.
Substituindo na fórmula,
a_0=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} 1\,dx.
A integral é fácil:
\int_{-L}^{L}1\,dx = [x]_{-L}^{L}=L-(-L)=2L.
Portanto
a_0=\frac{1}{L}\cdot 2L=2.
Observação prática: a_0/2=1 — já recupera o valor constante da função.

Passo 4

Calculando a_n para n\ge1.
Usamos
a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} 1\cdot\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.
Para integrar, note que \dfrac{n\pi}{L} é uma constante. A primitiva de \cos(kx) é \dfrac{1}{k}\sin(kx). Então
\int_{-L}^{L}\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx = \left[\frac{L}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right]_{-L}^{L} = \frac{L}{n\pi}\big(\sin(n\pi)-\sin(-n\pi)\big).
Mas \sin(n\pi)=0 para todo inteiro n, então a diferença é zero. Logo a integral é zero e
a_n=0\quad\text{para todo }n\ge1.

Passo 5

Calculando b_n para n\ge1.
b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} 1\cdot\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.
A função \sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right) é ímpar em x (ou seja, \sin(\cdot) é função que muda de sinal ao trocar x por -x), enquanto 1 é par. O produto é então ímpar. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico [-L,L] é zero. Portanto
b_n=0\quad\text{para todo }n\ge1.
(Se preferir calcular diretamente, a primitiva daria \dfrac{-L}{n\pi}\cos\!(n\pi x/L) avaliada em -L e L, que também leva a zero.)

Passo 6

Montando a série com os coeficientes encontrados:
  • a_0=2 então a_0/2=1.
  • a_n=0 e b_n=0 para todo n\ge1.
Assim a série de Fourier fica simplesmente
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\big(0\cdot\cos\!\left(\tfrac{n\pi x}{L}\right)+0\cdot\sin\!\left(\tfrac{n\pi x}{L}\right)\big)=1.
Interpretação e comentário útil para a prova: a função constante já é igual à sua média no período; portanto a série de Fourier tem só o termo constante. Como a função periódica estendida é contínua e constante, a série converge pontualmente e uniformemente para 1 em toda a reta (no intervalo fundamental -L,L e nos pontos de continuidade da extensão periódica).

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar: se L=\pi (caso comum),
f(x)=1\quad\text{em }(-\pi,\pi)
tem a_0=2, a_n=0, b_n=0, então a série é 1 também. Mesmo raciocínio, só que com n\pi/L=n.

Resposta

f(x)\sim 1

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