Funções pares e ímpares (extensões)
Expanda em série de Fourier, no intervalo -\pi<x<\pi, a função f(x)=x mas usando a extensão par.
Passo 1
O enunciado pede para expandir em série de Fourier, no intervalo -\pi<x<\pi, a função f(x)=x usando a extensão par.
Informações e o que é pedido:
A função original é f(x)=x definida em -\pi<x<\pi.
“Usar a extensão par” significa construir uma função g(x) em -\pi<x<\pi que seja par e coincida com f em 0<x<\pi. Assim, para -\pi<x<\pi temos g(x)=f(|x|).
Portanto a função que vamos expandir é g(x)=|x| para -\pi<x<\pi.
Como g é par, a série de Fourier sobre (-\pi,\pi) contém apenas termos constantes e cossenos: g(x)=\dfrac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx), com coeficientesa_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} g(x)\,dx,\qquad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} g(x)\cos(nx)\,dx.
O objetivo: calcular a_0 e a_n explicitamente e escrever a série.
Passo 2
Calcular a_0. Usando que g(x)=|x| é par, podemos usar a simetria para integrar apenas de 0 a \pi:
Como g(x) é par e \sin(nx) é ímpar, o produto g(x)\sin(nx) é ímpar e a integral simétrica em [-\pi,\pi] é zero. Logo todos os b_n valem zero e a série contém apenas cossenos.
Lembrete prático para a prova: ao pedir “extensão par” sempre pense em construir g(x)=f(|x|) para x negativo, reduzir a série a termos de cosseno e usar simetria para integrar de 0 a \pi. Integração por partes é a ferramenta padrão para integrais do tipo \int x\cos(nx)\,dx.