Funções pares e ímpares (extensões)
Expanda em série de Fourier, no intervalo -\pi<x<\pi, a função f(x)=x mas usando a extensão par.

Passo 1

O enunciado pede para expandir em série de Fourier, no intervalo -\pi<x<\pi, a função f(x)=x usando a extensão par.
Informações e o que é pedido:
  • A função original é f(x)=x definida em -\pi<x<\pi.
  • “Usar a extensão par” significa construir uma função g(x) em -\pi<x<\pi que seja par e coincida com f em 0<x<\pi. Assim, para -\pi<x<\pi temos g(x)=f(|x|).
  • Portanto a função que vamos expandir é g(x)=|x| para -\pi<x<\pi.
  • Como g é par, a série de Fourier sobre (-\pi,\pi) contém apenas termos constantes e cossenos: g(x)=\dfrac{a_0}{2}+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx), com coeficientes a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} g(x)\,dx,\qquad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} g(x)\cos(nx)\,dx.
  • O objetivo: calcular a_0 e a_n explicitamente e escrever a série.

Passo 2

Calcular a_0. Usando que g(x)=|x| é par, podemos usar a simetria para integrar apenas de 0 a \pi:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|\,dx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\,dx.
Agora calcule a integral simples:
\int_{0}^{\pi} x\,dx=\left.\frac{x^2}{2}\right|_{0}^{\pi}=\frac{\pi^2}{2}.
Substituindo,
a_0=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi^2}{2}=\pi.
O termo constante na série é, portanto, a_0/2=\pi/2.

Passo 3

Explicar por que os termos com seno desaparecem. Para qualquer n\ge1,
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} g(x)\sin(nx)\,dx.
Como g(x) é par e \sin(nx) é ímpar, o produto g(x)\sin(nx) é ímpar e a integral simétrica em [-\pi,\pi] é zero. Logo todos os b_n valem zero e a série contém apenas cossenos.

Passo 4

Calcular a_n. Usando novamente paridade,
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|\cos(nx)\,dx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\cos(nx)\,dx.
Calcule a integral I_n=\int_{0}^{\pi} x\cos(nx)\,dx por integração por partes. Tome u=x e dv=\cos(nx)\,dx. Então du=dx e v=\dfrac{\sin(nx)}{n}. Assim
I_n=\left. x\cdot\frac{\sin(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} \frac{\sin(nx)}{n}\,dx.
O primeiro termo é \dfrac{\pi\sin(n\pi)}{n}=0 porque \sin(n\pi)=0. Para o segundo:
\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,dx=\left.-\frac{\cos(nx)}{n}\right|_{0}^{\pi} = -\frac{\cos(n\pi)-\cos(0)}{n} = -\frac{(-1)^n-1}{n}.
Portanto
I_n = -\frac{1}{n}\cdot\left( -\frac{(-1)^n-1}{n}\right) = -\frac{1-(-1)^n}{n^2}.
Agora volte a a_n:
a_n=\frac{2}{\pi}I_n = -\frac{2}{\pi}\cdot\frac{1-(-1)^n}{n^2}.
Observe que 1-(-1)^n é 0 se n é par e 2 se n é ímpar. Logo:
  • Se n é par, a_n=0.
  • Se n é ímpar, escrevendo n=2k+1,
a_{2k+1} = -\frac{2}{\pi}\cdot\frac{2}{(2k+1)^2} = -\frac{4}{\pi(2k+1)^2}.

Passo 5

Escrever a série final agrupando apenas termos ímpares. Substituindo a_0/2=\pi/2 e os a_n na fórmula da série,
|x|=\frac{\pi}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos(nx) =\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\cos\big((2k+1)x\big)}{(2k+1)^2}.
Uma forma equivalente, escrevendo os primeiros termos explicitamente, é
|x|=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\left(\frac{\cos x}{1^2}+\frac{\cos 3x}{3^2}+\frac{\cos 5x}{5^2}+\cdots\right).
Lembrete prático para a prova: ao pedir “extensão par” sempre pense em construir g(x)=f(|x|) para x negativo, reduzir a série a termos de cosseno e usar simetria para integrar de 0 a \pi. Integração por partes é a ferramenta padrão para integrais do tipo \int x\cos(nx)\,dx.

Resposta

f_{\text{extensão par}}(x)=|x|=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\cos\big((2k+1)x\big)}{(2k+1)^2},\qquad -\pi<x<\pi.ã

Exercícios relacionados