Dado o vetor a=(2,-3,1) e b=(5,0,-2) :
Determine um vetor v ortogonal a b mas não ortogonal a a. E, um vetor u, não-nulo, ortogonal a a e b.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois vetores:
  • a = (2, -3, 1)
  • b = (5, 0, -2)
A primeira parte do exercício pede para encontrar um vetor v que seja ortogonal a b (ou seja, perpendicular a b) mas que não seja ortogonal a a. A segunda parte pede para encontrar um vetor não nulo u que seja ortogonal tanto a a quanto a b. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de produto escalar e produto vetorial da matéria de álgebra vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor v que é ortogonal a b mas não a a. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero.
O produto escalar entre v = (v1, v2, v3) e b = (5, 0, -2) é dado por:
v cdot b = 5v1 + 0v2 - 2v3 = 0
Isso simplifica para:
5v1 - 2v3 = 0
Podemos escolher valores para v1 e v3 que satisfaçam essa equação. Por exemplo, vamos escolher v1 = 2. Então:
5(2) - 2v3 = 0 Rightarrow 10 - 2v3 = 0 Rightarrow v3 = 5
Agora, podemos escolher v2 livremente, pois ele não aparece na equação. Vamos escolher v2 = 1.
Então, um vetor v que satisfaz essas condições é:
v = (2, 1, 5)
Para verificar se v não é ortogonal a a, calculamos o produto escalar v cdot a:
v cdot a = 2(2) + 1(-3) + 5(1) = 4 - 3 + 5 = 6 neq 0
Como o resultado não é zero, v não é ortogonal a a.

Passo 3

Agora, vamos encontrar um vetor não nulo u que seja ortogonal a ambos a e b. Para isso, usamos o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um terceiro vetor que é ortogonal a ambos os vetores originais.
Calculamos u = a times b.
Vamos calcular isso passo a passo:
a = (2, -3, 1) b = (5, 0, -2)
O produto vetorial é dado por:
u = i & j & k 2 & -3 & 1 5 & 0 & -2
Expandindo o determinante:
u = i cdot [(-3)(-2) - (1)(0)] - j cdot [(2)(-2) - (1)(5)] + k cdot [(2)(0) - (-3)(5)]
Calculando cada componente:
  • Componente i:
(-3)(-2) - (1)(0) = 6 - 0 = 6
  • Componente j:
(2)(-2) - (1)(5) = -4 - 5 = -9
  • Componente k:
(2)(0) - (-3)(5) = 0 + 15 = 15
Então,
u = 6i - (-9)j + 15k = (6, 9, 15)
Podemos simplificar u dividindo por 3:
u = ( 63, 93, 153 ) = (2, 3, 5)

Resposta

Um vetor v = (2,,1,,5) é ortogonal a b mas não a a. Um vetor não-nulo u = (2,,3,,5) é ortogonal a ambos a e b.

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