Dado o vetor e :
Determine um vetor ortogonal a mas não ortogonal a . E, um vetor , não-nulo, ortogonal a e .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois vetores:
A primeira parte do exercício pede para encontrar um vetor que seja ortogonal a (ou seja, perpendicular a ) mas que não seja ortogonal a . A segunda parte pede para encontrar um vetor não nulo que seja ortogonal tanto a quanto a . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de produto escalar e produto vetorial da matéria de álgebra vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor que é ortogonal a mas não a . Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero.
O produto escalar entre e é dado por:
Isso simplifica para:
Podemos escolher valores para e que satisfaçam essa equação. Por exemplo, vamos escolher . Então:
Agora, podemos escolher livremente, pois ele não aparece na equação. Vamos escolher .
Então, um vetor que satisfaz essas condições é:
Para verificar se não é ortogonal a , calculamos o produto escalar :
Como o resultado não é zero, não é ortogonal a .
Passo 3
Agora, vamos encontrar um vetor não nulo que seja ortogonal a ambos e . Para isso, usamos o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um terceiro vetor que é ortogonal a ambos os vetores originais.
Calculamos .
Vamos calcular isso passo a passo:
O produto vetorial é dado por:
Expandindo o determinante:
u = i cdot [(-3)(-2) - (1)(0)] - j cdot [(2)(-2) - (1)(5)] + k cdot [(2)(0) - (-3)(5)]
Calculando cada componente:
Componente i:
(-3)(-2) - (1)(0) = 6 - 0 = 6
Componente j:
(2)(-2) - (1)(5) = -4 - 5 = -9
Componente k:
(2)(0) - (-3)(5) = 0 + 15 = 15
Então,
u = 6i - (-9)j + 15k = (6, 9, 15)
Podemos simplificar u dividindo por 3:
u = ( 63, 93, 153 ) = (2, 3, 5)
Resposta
Um vetor v = (2,,1,,5) é ortogonal a b mas não a a. Um vetor não-nulo u = (2,,3,,5) é ortogonal a ambos a e b.