Seja A subset R, f uma função com domínio A e a in A^prime, sendo A^prime o conjunto dos pontos de acumulação de A. Mostre que:
Se lim x a f(x)=L, então lim x a|f(x)|=|L|.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que, se a função tende a quando se aproxima de , então o valor absoluto de , ou seja, , tende a quando se aproxima de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades do valor absoluto.

Passo 2

Primeiro, sabemos que se , isso significa que, para valores de bem próximos de , está muito próximo de . Ou seja, fica quase igual a quando está perto de .

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece com quando está perto de . O valor absoluto de , que é , simplesmente “ignora” o sinal de , ou seja, fica sempre positivo ou zero. Assim, se está próximo de , estará próximo de .

Passo 4

Matematicamente, podemos dizer que para todo ||f(x)| - |L|| <= |f(x) - L| , existe um tal que se , então . Aplicando o valor absoluto, temos:
Isso significa que a diferença entre e é no máximo igual à diferença entre e .

Passo 5

Então, se , concluímos que . Isso mostra que está tão perto de quanto está de quando se aproxima de .

Resposta

Portanto, mostramos que se , então .

Exercícios relacionados