Seja
uma função com domínio
e
, sendo
o conjunto dos pontos de acumulação de
. Mostre que:
Se
, então
.
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que, se a função
tende a
quando
se aproxima de
, então o valor absoluto de
, ou seja,
, tende a
quando
se aproxima de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades do valor absoluto.
Passo 2
Primeiro, sabemos que se
, isso significa que, para valores de
bem próximos de
,
está muito próximo de
. Ou seja,
fica quase igual a
quando
está perto de
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o que acontece com
quando
está perto de
. O valor absoluto de
, que é
, simplesmente “ignora” o sinal de
, ou seja, fica sempre positivo ou zero. Assim, se
está próximo de
,
estará próximo de
.
Passo 4
Matematicamente, podemos dizer que para todo
, existe um
tal que se
, então
. Aplicando o valor absoluto, temos:
Isso significa que a diferença entre
e
é no máximo igual à diferença entre
e
.
Passo 5
Então, se
, concluímos que
. Isso mostra que
está tão perto de
quanto
está de
quando
se aproxima de
.
Resposta
Portanto, mostramos que se
, então
.