A resposta para a integral abaixo está correta? Justifique.
integral x^2raiz9-x^2 d x=-x raiz9-x^2+c

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a fórmula proposta para
integral x^2raiz9-x^2,dx = -xraiz9-x^2 + C
está correta. O conteúdo envolve técnicas de derivação para checar a primitiva e cálculo de integrais elementares como integralraiza^2-x^2,dx e integral!1/raiza^2-x^2,dx.

Passo 2

Vamos derivar a função candidata
F(x) = -xraiz9-x^2 + C
Aplicando a regra do produto e a derivada de raiz9-x^2:
F'(x) = -1cdotraiz9-x^2 - xcdot-xraiz9-x^2 = -raiz9-x^2 + x^2raiz9-x^2 = x^2 - (9 - x^2)raiz9-x^2 = 2x^2-9raiz9-x^2
Vemos que F'(x)neq x^2/raiz9-x^2, pois sobra o termo -raiz9-x^2.

Passo 3

Como a derivada não coincide com o integrando, a resposta está incorreta. Agora calculamos corretamente:
Escrevemos x^2=(x^2-9)+9 e separamos
I = integral x^2raiz9-x^2,dx = integral x^2-9raiz9-x^2,dx + 9integral dxraiz9-x^2 = -integral raiz9-x^2,dx + 9integral dxraiz9-x^2
Sabemos que
integral raiz9-x^2,dx = x2raiz9-x^2 + 92arcsin!l(tfracx3r) + C1
e
integral dxraiz9-x^2 = arcsin!l(tfracx3r) + C2
Substituindo e juntando constantes, obtemos
I = -x2raiz9-x^2 + 92arcsin!l(tfracx3r) + C

Resposta

Não, a fórmula dada está incorreta. O resultado correto é
-x2raiz9-x^2 + 92arcsin!l(tfracx3r) + C

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