Faça um esboço e determine a área da região finita limitada pela curva y=x^4-4 x^2 e a reta y=-4.

Passo 1

O problema pede para a gente fazer um esboço do gráfico de y = x^4 - 4x^2 e da reta y = -4, e depois calcular a área da região finita que fica entre eles. O conteúdo envolvido aqui é área entre curvas, que resolvemos fazendo uma integral definida da diferença entre as funções. Para isso, precisamos achar primeiro os pontos de interseção e identificar qual função fica por cima da outra.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos x^4 - 4x^2 a -4 e trazemos tudo para um lado:
x^4 - 4x^2 + 4 = 0
Isso pode ser fatorado como
(x^2 - 2)^2 = 0
Logo, x^2 = 2 e x = pmraiz2. Esses serão os limites de integração.

Passo 3

Fazendo um esboço qualitativo: a curva y = x^4 - 4x^2 é um polinômio de grau 4, simétrico em relação ao eixo y, com um “W” invertido que atinge y=0 em x=0 e cai até y=-4 em x=pmraiz2. A reta y=-4 é horizontal. A região procurada é o “arco” entre esses dois gráficos, de x=-raiz2 a x=raiz2.

Passo 4

Observamos que, em qualquer ponto entre -raiz2 e raiz2, a curva está acima da reta (por exemplo, em x=0, ycurva=0>-4). Portanto, a área pedida é dada por
Área = integral-raiz2^raiz2 l[(x^4 - 4x^2) - (-4)r] ,dx = integral-raiz2^raiz2 (x^4 - 4x^2 + 4) ,dx Á

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a primitiva de x^4 - 4x^2 + 4. Fazendo termo a termo, temos
integral (x^4 - 4x^2 + 4) ,dx = x^55 - 4x^33 + 4x + C

Passo 6

Avaliando essa primitiva de -raiz2 a raiz2, definimos
F(x)=x^55-4x^33+4x
Calculamos F(raiz2) e F(-raiz2) e fazemos F(raiz2) - F(-raiz2). A conta dá
F(raiz2)=32raiz215, F(-raiz2)=-32raiz215,
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Área = 32raiz215 - l(-32raiz215r) = 64raiz215 Á

Resposta

64raiz215

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