Faça um esboço e determine a área da região finita limitada pela curva
e a reta
.
Passo 1
O problema pede para a gente fazer um esboço do gráfico de
e da reta
, e depois calcular a área da região finita que fica entre eles. O conteúdo envolvido aqui é área entre curvas, que resolvemos fazendo uma integral definida da diferença entre as funções. Para isso, precisamos achar primeiro os pontos de interseção e identificar qual função fica por cima da outra.
Passo 2
Para achar os pontos de interseção, igualamos
a
e trazemos tudo para um lado:
Isso pode ser fatorado como
Logo,
e
. Esses serão os limites de integração.
Passo 3
Fazendo um esboço qualitativo: a curva
é um polinômio de grau 4, simétrico em relação ao eixo
, com um “W” invertido que atinge
em
e cai até
em
. A reta
é horizontal. A região procurada é o “arco” entre esses dois gráficos, de
a
.
Passo 4
Observamos que, em qualquer ponto entre
e
, a curva está acima da reta (por exemplo, em
,
). Portanto, a área pedida é dada por
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a primitiva de
. Fazendo termo a termo, temos
Passo 6
Avaliando essa primitiva de
a
, definimos
Calculamos
e
e fazemos
. A conta dá
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