Dado o vetor w = (3, 2, 5), determinar a e b de modo que os vetores u = (3, 2, −1) e v = (a, 6, b) + 2w sejam paralelos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os valores de $ a $ e $ b $ de modo que os vetores $ \mathbf{u} = (3, 2, -1) $ e $ \mathbf{v} = (a, 6, b) + 2\mathbf{w} $, onde $ \mathbf{w} = (3, 2, 5) $, sejam paralelos. Isso envolve conceitos de álgebra vetorial, especificamente sobre vetores paralelos e como relacioná-los usando escalares.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o vetor $ \mathbf{v} $. Sabemos que:
Como $ \mathbf{w} = (3, 2, 5) $, vamos multiplicar $ \mathbf{w} $ por 2:
Agora, somamos esse resultado ao vetor $ (a, 6, b) $:
Passo 3
Para que os vetores $ \mathbf{u} $ e $ \mathbf{v} $ sejam paralelos, eles devem ser múltiplos um do outro. Isso significa que existe um número escalar $ k $ tal que:
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 4
Agora, vamos igualar as componentes correspondentes dos dois vetores:
Vamos resolver essas equações uma por uma para encontrar $ k $, $ a $ e $ b $.
Passo 5
Começando pela segunda equação:
Agora que temos $ k = 5 $, podemos usar esse valor para encontrar $ a $ e $ b $.
Passo 6
Substituindo $ k = 5 $ na primeira equação:
Passo 7
Agora, substituindo $ k = 5 $ na terceira equação:
Resposta
Os valores que satisfazem as condições são $ a = 9 $ e $ b = -15 $.