Considera-se um campo de velocidades bidimensional tal que:
u_{1}=2 x_{2}^{2}
u_{2}=3 x_{1}
Calcule as acelerações Euleriana e Lagrangeana no ponto (1,2).

Passo 1

O enunciado dá um campo de velocidades bidimensional estacionário
u_{1}(x_{1},x_{2}) = 2\,x_{2}^{2},\quad u_{2}(x_{1},x_{2}) = 3\,x_{1}
e pede:
– a aceleração Euleriana no ponto (1,2), isto é \partial\boldsymbol{u}/\partial t;
– a aceleração Lagrangeana no mesmo ponto, isto é a derivada material D\boldsymbol{u}/Dt.

Passo 2

Definição de acelerações:
– aceleração Euleriana
\boldsymbol{a}_{E} = \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t};
– aceleração Lagrangeana (material)
\boldsymbol{a}_{L} = \frac{D\boldsymbol{u}}{Dt} = \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t} + (\boldsymbol{u}\cdot\nabla)\boldsymbol{u}.

Passo 3

Como o campo de velocidades não depende de t, temos
\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial t} = \bigl(0,0\bigr),
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\boldsymbol{a}_{E}(1,2) = (0,0).

Passo 4

Para a parte convectiva calculamos primeiro os gradientes:
\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{1}} = 0, \quad \frac{\partial u_{1}}{\partial x_{2}} = 4\,x_{2}, \quad \frac{\partial u_{2}}{\partial x_{1}} = 3, \quad \frac{\partial u_{2}}{\partial x_{2}} = 0.
No ponto (1,2) a velocidade vale
u_{1}(1,2)=2\cdot 2^{2}=8, \quad u_{2}(1,2)=3\cdot 1=3.

Passo 5

Agora o termo convectivo (\boldsymbol{u}\cdot\nabla)\boldsymbol{u} em cada componente:
(\boldsymbol{u}\cdot\nabla)u_{1} = u_{1}\,\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{1}} +u_{2}\,\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{2}} = 8\cdot 0 + 3\cdot(4\cdot2) = 24,
(\boldsymbol{u}\cdot\nabla)u_{2} = u_{1}\,\frac{\partial u_{2}}{\partial x_{1}} +u_{2}\,\frac{\partial u_{2}}{\partial x_{2}} = 8\cdot 3 + 3\cdot 0 = 24.
Como \partial\boldsymbol{u}/\partial t=(0,0), segue
\boldsymbol{a}_{L}(1,2) = (0,0) + (24,24) = (24,24).

Resposta

Aceleração Euleriana em (1,2): \,(0,0).
Aceleração Lagrangeana em (1,2): \,(24,24).

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