Questão 2 (12 pontos).
a) Esboce a curva dada em coordenadas polares por r=5|theta|+2,-pi <= theta <= pi.
b) Encontre as interseções da curva descrita no item a) com o círculo r=4.
c) Considere a região do plano dentro do círculo r=4 e fora da curva descrita no item a). Obtenha uma integral cujo valor seja a área desta região. Não calcule a integral.

Passo 1

O enunciado trata de uma curva em coordenadas polares dada por
r = 5,|theta| + 2, -pi <= theta <= pi,
e pede:
a) um esboço dessa curva;
b) as interseções dela com o círculo r=4;
c) montar uma integral que dê a área da região que fica dentro do círculo r=4 e fora da curva do item (a) (sem calcular).
O conteúdo necessário envolve noções de gráfico em coordenadas polares, resolução de r1(theta)=r2(theta) para achar interseções e fórmula de área em polares.

Passo 2

Para esboçar a curva note que o valor absoluto força um ramo para theta>=0 e outro para theta<0:
  • Se theta>=0, então r = 5theta + 2
  • Se theta<0, então r = -5theta + 2
Em ambos os ramos r varia linearmente com |theta|. O ponto de mínimo é em theta=0, onde r(0)=2. Nos extremos theta=pmpi temos r(pmpi)=5pi+2. O gráfico é, portanto, uma espécie de “espiral” linear para cima e para baixo do eixo polar, simétrica em relação ao eixo horizontal.

Passo 3

Para achar as interseções com o círculo r=4 resolvemos
5,|theta| + 2 = 4 Longrightarrow 5,|theta| = 2 Longrightarrow |theta| = tfrac25
Logo as interseções ocorrem em
theta = pm tfrac25, r=4

Passo 4

A região pedida é
(r,theta)mid 5|theta|+2 <= r <= 4,;|theta|<= tfrac25
A área em coordenadas polares é dada por
A = integraltheta=-25^25 integralr=5|theta|+2^4 r,dr,dtheta
Ou, usando a forma reduzida,
A = tfrac12 integral-25^25 l(4^2 - (5|theta|+2)^2r),dtheta

Resposta

a) A curva consiste em dois ramos lineares em theta:
  • Para theta>=0, r=5theta+2, partindo de (2,0) e girando até (5pi+2,pi).
  • Para theta<0, r=-5theta+2, simétrico em relação ao eixo polar.
b) As interseções com r=4 ocorrem em
(,r,theta)=(4,tfrac25) e (4,-tfrac25)
c) A área da região dentro de r=4 e fora de r=5|theta|+2 é dada por
A = integral-25^25 integral5|theta|+2^4 r,dr,dtheta ou ainda A = tfrac12 integral-25^25 l(16 - (5|theta|+2)^2r),dtheta

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