Questão 2 (12 pontos).
a) Esboce a curva dada em coordenadas polares por
.
b) Encontre as interseções da curva descrita no item a) com o círculo
.
c) Considere a região do plano dentro do círculo
e fora da curva descrita no item a). Obtenha uma integral cujo valor seja a área desta região. Não calcule a integral.
a) Esboce a curva dada em coordenadas polares por
b) Encontre as interseções da curva descrita no item a) com o círculo
c) Considere a região do plano dentro do círculo
Passo 1
O enunciado trata de uma curva em coordenadas polares dada por
e pede:
a) um esboço dessa curva;
b) as interseções dela com o círculo ;
c) montar uma integral que dê a área da região que fica dentro do círculo e fora da curva do item (a) (sem calcular).
O conteúdo necessário envolve noções de gráfico em coordenadas polares, resolução de para achar interseções e fórmula de área em polares.
a) um esboço dessa curva;
b) as interseções dela com o círculo
c) montar uma integral que dê a área da região que fica dentro do círculo
O conteúdo necessário envolve noções de gráfico em coordenadas polares, resolução de
Passo 2
Para esboçar a curva note que o valor absoluto força um ramo para
e outro para
:
- Se
, então - Se
, então
Em ambos os ramos
varia linearmente com
. O ponto de mínimo é em
, onde
. Nos extremos
temos
. O gráfico é, portanto, uma espécie de “espiral” linear para cima e para baixo do eixo polar, simétrica em relação ao eixo horizontal.
Passo 3
Para achar as interseções com o círculo
resolvemos
Logo as interseções ocorrem em
Passo 4
A região pedida é
A área em coordenadas polares é dada por
Ou, usando a forma reduzida,
Resposta
a) A curva consiste em dois ramos lineares em
:
- Para
, , partindo de e girando até . - Para
, , simétrico em relação ao eixo polar.
b) As interseções com
ocorrem em
c) A área da região dentro de
e fora de
é dada por