Para qual valor de a (escalar) os vetores u=3 i+2 j-7 k e v=a i+3 j-2 k serão:
(a) perpendiculares;
(b) paralelos.

Passo 1

O enunciado pede para achar o valor de ainR de modo que os vetores
u=3i+2j-7k e v=ai+3j-2k
sejam (a) perpendiculares e (b) paralelos. Para isso, vamos usar as definições de produto escalar (para perpendicularidade) e de produto vetorial (para paralelismo).

Passo 2

Para serem perpendiculares, precisamos de
ucdot v = 0
Calculando o produto escalar:
ucdot v = 3cdot a + 2cdot 3 + (-7)cdot(-2) = 3a + 6 + 14 = 3a + 20
Impondo 3a + 20 = 0, obtemos
a = -203

Passo 3

Para serem paralelos, basta que
utimes v = 0
Calculando o produto vetorial:
utimes v = i&j&k 3&2&-7 a&3&-2 = l(2cdot(-2)-(-7)cdot3r)i - l(3cdot(-2)-(-7)cdot ar)j + l(3cdot3 - 2cdot ar)k
O primeiro componente é
2(-2) - (-7)cdot3 = -4 + 21 = 17 neq 0,
logo não há como anular todo o vetor utimesv. De forma equivalente, as razões a/3, 3/2 e -2/(-7)=2/7 nunca coincidem. Portanto não existe a que torne u e v paralelos.

Resposta

(a) a = -tfrac203.
(b) Não existe valor de a que faça os vetores paralelos.

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