Determine o centróide do hemisfério
.
Passo 1
O enunciado pede o centróide de um hemisfério sólido de raio
definido por
. O conteúdo envolve cálculo de centróide de uma região volumétrica com densidade uniforme, para o qual usaremos integração tripla em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Como a região é simétrica em relação aos eixos
e
, temos
. Resta determinar apenas
, dado por
Passo 3
Para montar as integrais, usamos coordenadas cilíndricas:
com limites ,
e
. Assim:
com limites
onde
Passo 4
Primeiro calculamos o volume
. Integrando em
:
de onde
Fazendo a substituição
obtém-se
Passo 5
Em seguida calculamos o momento estático
. Integrando em
:
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Passo 6
Finalmente,
Portanto, o centróide do hemisfério é dado por