Determine o centróide do hemisfério 0 <= z <= raizR^2-x^2-y^2.

Passo 1

O enunciado pede o centróide de um hemisfério sólido de raio R definido por 0 <= z <= raizR^2 - x^2 - y^2. O conteúdo envolve cálculo de centróide de uma região volumétrica com densidade uniforme, para o qual usaremos integração tripla em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Como a região é simétrica em relação aos eixos x e y, temos bar x = bar y = 0. Resta determinar apenas bar z, dado por
bar z = 1V integral triplaV z,dV

Passo 3

Para montar as integrais, usamos coordenadas cilíndricas:
x = rcostheta, y = rsintheta, dV = r,dr,dtheta,dz
com limites thetain[0,2pi], rin[0,R] e zin[0,raizR^2 - r^2]. Assim:
V = integral0^2pi!integral0^R!integral0^raizR^2 - r^2 r,dz,dr,dtheta,
Mz = integral0^2pi!integral0^R!integral0^raizR^2 - r^2 z,r,dz,dr,dtheta,
onde Mz=integral triplaV z,dV.

Passo 4

Primeiro calculamos o volume V. Integrando em z:
integral0^raizR^2 - r^2 dz = raizR^2 - r^2,
de onde
V = integral0^2pi !dtheta integral0^R r,raizR^2 - r^2,dr = 2pi integral0^R rraizR^2 - r^2,dr
Fazendo a substituição u=R^2-r^2 obtém-se
V = 2pi R^33

Passo 5

Em seguida calculamos o momento estático Mz. Integrando em z:
integral0^raizR^2 - r^2 z,dz = 12(R^2 - r^2),
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Mz = integral0^2pi !dtheta integral0^R 12(R^2 - r^2),r,dr = pi integral0^R (R^2r - r^3),dr = pi R^44

Passo 6

Finalmente,
bar z = MzV = pi R^4/4(2pi R^3)/3 = 3R8
Portanto, o centróide do hemisfério é dado por (0,0,3R/8)).

Resposta

l(0,0,tfrac3R8r)

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