1. Dado o vetor v=(3,4) na base canônica, encontre suas coordenadas na base B= \{(1,1),(1,-1)\}.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o vetor v=(3,4) na base canônica de \mathbb{R}^2 e queremos encontrar suas coordenadas (\alpha,\beta) na base
B = \{(1,1),\,(1,-1)\}.
O conteúdo aqui é mudança de base e vamos resolver escrevendo v como combinação linear dos vetores de B.

Passo 2

Escrevemos
\alpha\,(1,1)\;+\;\beta\,(1,-1)\;=\;(3,4).
Isso gera o sistema de equações
\begin{cases} \alpha + \beta = 3,\\\ \alpha - \beta = 4. \end{cases}

Passo 3

Somando as duas equações do sistema, obtemos
2\alpha = 7 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \frac{7}{2}.
Substituindo \alpha em \alpha + \beta = 3, vem
\beta = 3 - \frac{7}{2} \;=\; -\frac{1}{2}.

Resposta

As coordenadas de v na base B são \displaystyle\bigl(\tfrac{7}{2},\, -\tfrac{1}{2}\bigr).

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