1. A equação x^{2}+4 y^{2}=16 representa uma elipse? Caso sim, escreva essa equação na forma canônica.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva de segundo grau
x^{2} + 4y^{2} = 16
e pergunta se isso representa uma elipse e, caso afirmativo, pede a forma canônica. Para classificar a cônica, vamos usar o discrimante e o sinal dos coeficientes dos termos quadráticos.

Passo 2

Na equação geral Ax^{2} + Bxy + Cy^{2} + \dots = 0, o discrimante é \Delta = B^{2} - 4AC. Aqui temos A=1, B=0 e C=4, logo
\Delta = 0^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -16 < 0.
Como A e C têm o mesmo sinal e \Delta<0, concluímos que a curva é uma elipse.

Passo 3

Para escrever na forma canônica, dividimos ambos os lados de x^{2} + 4y^{2} = 16 por 16:
\frac{x^{2}}{16} + \frac{4y^{2}}{16} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1.
Essa é a forma canônica de uma elipse com semi-eixo maior a=4 e semi-eixo menor b=2.

Resposta

Sim, representa uma elipse. A forma canônica é
\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1.

Exercícios relacionados