1. Encontre a matriz de mudança de base de B=\{(1,2),(2,1)\} para a base canônica em \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a matriz de mudança de base de B=\{(1,2),(2,1)\} para a base canônica de \mathbb{R}^2.
Conteúdo: entendimento de mudança de base em espaços vetoriais finito-dimensionais.
O que precisamos: lembrar que, para mudar de coordenadas em B para coordenadas na base canônica, montamos uma matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores de B na base canônica.

Passo 2

Seja B=\{b_1,b_2\}. A matriz de mudança de base de B para a base canônica (denotada aqui por E) é a matriz P_{B\to E} cujas colunas são exatamente os vetores b_1 e b_2 escritos no sistema canônico.

Passo 3

No nosso caso,
b_1 = (1,2),\quad b_2 = (2,1).
Logo, colocando-os como colunas, obtemos
P_{B\to E} = \begin{pmatrix} 1 & 2\\\\ 2 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

P_{B\to \text{can}} = \begin{pmatrix} 1 & 2\\\\ 2 & 1 \end{pmatrix}.

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