Dado um vetor
do plano, seja
o vetor obtido pela rotação de
no sentido anti-horário em torno da origem por um ângulo
. O objetivo desse exercício é encontrar uma fórmula para
com a menor quantidade de cálculos possível.
(i) Se
forma um ângulo
com o eixo horizontal, mostre que
(ii) Verifique que
e conclua daí que
N.B. Se quiséssemos ser rigorosos, deveríamos escrever
.
(iii) Explique por que se a rotação for no sentido horário devemos ter
(iv) Se
, mostre que
(i) Se
(iii) Explique por que se a rotação for no sentido horário devemos ter
Passo 1
O enunciado trata de uma rotação no plano: dado
, queremos achar uma fórmula fechada para
que é o vetor obtido girando
em torno da origem de forma anti-horária por um ângulo
. Vamos usar coordenadas polares, as fórmulas de adição de ângulos e, por fim, verificar que essa transformação preserva produto interno.
Passo 2
(i) Se
forma um ângulo
com o eixo
, na representação polar temos módulo
e ângulo
. Por definição de cosseno e seno num triângulo retângulo, suas coordenadas cartesianas são
Passo 3
(ii) Girar
de
para
leva a
Usando as fórmulas de adição de ângulo
e substituindo
e
, obtemos
Passo 4
(iii) Se a rotação fosse no sentido horário, bastaria usar ângulo
. Como
e
, segue
Passo 5
(iv) Para qualquer
, escrevemos
com
Então
Agrupando e usando
e
, chega-se a
Ou seja, a rotação é uma transformação ortogonal que preserva produto interno.
Resposta
(i)
.
(ii) .
(iii) No sentido horário
(ii)
(iii) No sentido horário
(iv)
.