Dado um vetor v=\left(v_{1}, v_{2}\right) do plano, seja R_{\theta}(v) o vetor obtido pela rotação de v no sentido anti-horário em torno da origem por um ângulo \theta. O objetivo desse exercício é encontrar uma fórmula para R_{\theta} com a menor quantidade de cálculos possível.
(i) Se v forma um ângulo \alpha com o eixo horizontal, mostre que
v_{1}=|v| \cos \alpha \quad v_{2}=|v| \operatorname{sen} \alpha
(ii) Verifique que R_{\theta}(v)=(|v| \cos (\alpha+\theta),|v| \operatorname{sen}(\alpha+\theta)) e conclua daí que
R_{\theta}\left(v_{1}, v_{2}\right)=\left(v_{1} \cos \theta-v_{2} \operatorname{sen} \theta, v_{1} \operatorname{sen} \theta+v_{2} \cos \theta\right) .
N.B. Se quiséssemos ser rigorosos, deveríamos escrever R_{\theta}\left(\left(v_{1}, v_{2}\right)\right).
(iii) Explique por que se a rotação for no sentido horário devemos ter
R_{\theta}\left(v_{1}, v_{2}\right)=\left(v_{1} \cos \theta+v_{2} \operatorname{sen} \theta,-v_{1} \operatorname{sen} \theta+v_{2} \cos \theta\right) .
(iv) Se w=\left(w_{1}, w_{2}\right), mostre que
\left\langle R_{\theta}(v), R_{\theta}(w)\right\rangle=\langle v, w\rangle .

Passo 1

O enunciado trata de uma rotação no plano: dado v=(v_{1},v_{2}), queremos achar uma fórmula fechada para
R_{\theta}(v)
que é o vetor obtido girando v em torno da origem de forma anti-horária por um ângulo \theta. Vamos usar coordenadas polares, as fórmulas de adição de ângulos e, por fim, verificar que essa transformação preserva produto interno.

Passo 2

(i) Se v forma um ângulo \alpha com o eixo x, na representação polar temos módulo \lvert v\rvert e ângulo \alpha. Por definição de cosseno e seno num triângulo retângulo, suas coordenadas cartesianas são
v_{1}=\lvert v\rvert\cos\alpha \quad\text{e}\quad v_{2}=\lvert v\rvert\operatorname{sen}\alpha.

Passo 3

(ii) Girar v de \alpha para \alpha+\theta leva a
R_{\theta}(v) = \bigl(\lvert v\rvert\cos(\alpha+\theta),\,\lvert v\rvert\operatorname{sen}(\alpha+\theta)\bigr).
Usando as fórmulas de adição de ângulo
\cos(\alpha+\theta)=\cos\alpha\cos\theta-\operatorname{sen}\alpha\operatorname{sen}\theta,
\operatorname{sen}(\alpha+\theta)=\operatorname{sen}\alpha\cos\theta+\cos\alpha\operatorname{sen}\theta,
e substituindo \cos\alpha=v_{1}/\lvert v\rvert e \operatorname{sen}\alpha=v_{2}/\lvert v\rvert, obtemos
R_{\theta}(v) = \bigl(v_{1}\cos\theta - v_{2}\operatorname{sen}\theta,\;v_{1}\operatorname{sen}\theta + v_{2}\cos\theta\bigr).

Passo 4

(iii) Se a rotação fosse no sentido horário, bastaria usar ângulo -\theta. Como \cos(-\theta)=\cos\theta e \operatorname{sen}(-\theta)=-\operatorname{sen}\theta, segue
R_{\theta}(v) = \bigl(v_{1}\cos\theta + v_{2}\operatorname{sen}\theta,\;-v_{1}\operatorname{sen}\theta + v_{2}\cos\theta\bigr).

Passo 5

(iv) Para qualquer w=(w_{1},w_{2}), escrevemos
R_{\theta}(v)=(v_{1}',v_{2}'),\quad R_{\theta}(w)=(w_{1}',w_{2}'),
com
v_{1}'=v_{1}\cos\theta-v_{2}\operatorname{sen}\theta,\quad v_{2}'=v_{1}\operatorname{sen}\theta+v_{2}\cos\theta,
w_{1}'=w_{1}\cos\theta-w_{2}\operatorname{sen}\theta,\quad w_{2}'=w_{1}\operatorname{sen}\theta+w_{2}\cos\theta.
Então
\langle R_{\theta}(v),R_{\theta}(w)\rangle =v_{1}'w_{1}'+v_{2}'w_{2}'
=\bigl(v_{1}\cos\theta-v_{2}\operatorname{sen}\theta\bigr)\bigl(w_{1}\cos\theta-w_{2}\operatorname{sen}\theta\bigr) +\bigl(v_{1}\operatorname{sen}\theta+v_{2}\cos\theta\bigr)\bigl(w_{1}\operatorname{sen}\theta+w_{2}\cos\theta\bigr).
Agrupando e usando
\cos^{2}\theta+\operatorname{sen}^{2}\theta=1 e
\cos\theta\,\operatorname{sen}\theta-\operatorname{sen}\theta\,\cos\theta=0, chega-se a
v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2} =\langle v,w\rangle.
Ou seja, a rotação é uma transformação ortogonal que preserva produto interno.

Resposta

(i) v_{1}=\lvert v\rvert\cos\alpha,\quad v_{2}=\lvert v\rvert\operatorname{sen}\alpha.
(ii) R_{\theta}(v_{1},v_{2})=\bigl(v_{1}\cos\theta - v_{2}\operatorname{sen}\theta,\;v_{1}\operatorname{sen}\theta + v_{2}\cos\theta\bigr).
(iii) No sentido horário
R_{\theta}(v_{1},v_{2}) = \bigl(v_{1}\cos\theta + v_{2}\operatorname{sen}\theta,\;-v_{1}\operatorname{sen}\theta + v_{2}\cos\theta\bigr).
(iv) \langle R_{\theta}(v),R_{\theta}(w)\rangle=\langle v,w\rangle.

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