Verifique que P=(x, y, z) está no plano determinado por a=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), b=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) e c=\left(c_{1}, c_{2}, c_{3}\right) se, e somente se,
O enunciado pede para mostrar que P=(x,y,z) pertence ao plano determinado pelos pontos \displaystyle a=(a_{1},a_{2},a_{3}), \displaystyle b=(b_{1},b_{2},b_{3}) e \displaystyle c=(c_{1},c_{2},c_{3})
se, e somente se,
O conteúdo aqui é geometria vetorial em \mathbb{R}^3, usando o critério de coplanaridade via produto misto (determinante).
Passo 2
P pertence ao plano ABC exatamente quando os quatro pontos A,B,C,P são coplanares. Em linguagem de vetores, isso equivale a dizer que os vetores \overrightarrow{PA}, \overrightarrow{PB} e \overrightarrow{PC}
são linearmente dependentes (pois todos caem no mesmo plano).
Passo 3
Definimos \displaystyle \overrightarrow{PA}=a-p, \displaystyle \overrightarrow{PB}=b-p e \displaystyle \overrightarrow{PC}=c-p.
Em coordenadas,
e análogas para \overrightarrow{PB} e \overrightarrow{PC}.
Passo 4
Em \mathbb{R}^3, três vetores são linearmente dependentes se, e somente se, o seu produto misto for zero. O produto misto pode ser expresso como o determinante da matriz cujas linhas são as coordenadas desses vetores. Logo,