Verifique que P=(x, y, z) está no plano determinado por a=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), b= \left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) e c=\left(c_{1}, c_{2}, c_{3}\right) se, e somente se,
\left|\begin{array}{ccc} a_{1}-x & a_{2}-y & a_{3}-z \\\ b_{1}-x & b_{2}-y & b_{3}-z \\\ c_{1}-x & c_{2}-y & c_{3}-z \end{array}\right|=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que P=(x,y,z) pertence ao plano determinado pelos pontos
\displaystyle a=(a_{1},a_{2},a_{3}),
\displaystyle b=(b_{1},b_{2},b_{3}) e
\displaystyle c=(c_{1},c_{2},c_{3})
se, e somente se,
\det \begin{pmatrix} a_{1}-x & a_{2}-y & a_{3}-z\\\ b_{1}-x & b_{2}-y & b_{3}-z\\\ c_{1}-x & c_{2}-y & c_{3}-z \end{pmatrix} =0.
O conteúdo aqui é geometria vetorial em \mathbb{R}^3, usando o critério de coplanaridade via produto misto (determinante).

Passo 2

P pertence ao plano ABC exatamente quando os quatro pontos A,B,C,P são coplanares. Em linguagem de vetores, isso equivale a dizer que os vetores
\overrightarrow{PA}, \overrightarrow{PB} e \overrightarrow{PC}
são linearmente dependentes (pois todos caem no mesmo plano).

Passo 3

Definimos
\displaystyle \overrightarrow{PA}=a-p,
\displaystyle \overrightarrow{PB}=b-p e
\displaystyle \overrightarrow{PC}=c-p.
Em coordenadas,
\overrightarrow{PA}=(a_{1}-x,\;a_{2}-y,\;a_{3}-z),
e análogas para \overrightarrow{PB} e \overrightarrow{PC}.

Passo 4

Em \mathbb{R}^3, três vetores são linearmente dependentes se, e somente se, o seu produto misto for zero. O produto misto pode ser expresso como o determinante da matriz cujas linhas são as coordenadas desses vetores. Logo,
\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PB},\overrightarrow{PC} \text{ dependentes} \quad\Longleftrightarrow\quad \det \begin{pmatrix} a_{1}-x & a_{2}-y & a_{3}-z\\\ b_{1}-x & b_{2}-y & b_{3}-z\\\ c_{1}-x & c_{2}-y & c_{3}-z \end{pmatrix} =0.

Passo 5

Concluímos que P está no plano ABC (os quatro pontos são coplanares) se, e somente se, o determinante acima for nulo.

Resposta

\det \begin{pmatrix} a_{1}-x & a_{2}-y & a_{3}-z\\\ b_{1}-x & b_{2}-y & b_{3}-z\\\ c_{1}-x & c_{2}-y & c_{3}-z \end{pmatrix} =0.

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