Dois planos são ortogonais se suas normais são ortogonais. Encontre a equação do plano que contém a reta (-1,1,2)+t(3,2,4) e é ortogonal ao plano 2 x+y-3 z+4=0. R. 10 x-17 y+z+25=0
Passo 1
O enunciado pede a equação do plano que contém a reta
(x,y,z)=(-1,1,2)+t\,(3,2,4)
e é ortogonal ao plano
2x + y - 3z + 4 = 0.
O conteúdo envolve duas ideias:
Um plano que contém uma reta deve ter a direção dessa reta contida no próprio plano.
Dois planos são ortogonais se, e somente se, seus vetores normais são ortogonais.
Passo 2
Identificamos os vetores relevantes:
– A direção da reta é \mathbf{d}=(3,2,4).
– O vetor normal do plano dado é \mathbf{n}_1=(2,1,-3).
Para que o novo plano contenha a reta, seu normal \mathbf{n} deve satisfazer
\mathbf{n}\cdot\mathbf{d}=0,
e para que seja ortogonal ao plano dado, deve satisfazer
\mathbf{n}\cdot\mathbf{n}_1=0.
Passo 3
Um vetor ortogonal simultaneamente a \mathbf{d} e a \mathbf{n}_1 é dado pelo produto vetorial