Dois planos são ortogonais se suas normais são ortogonais. Encontre a equação do plano que contém a reta (-1,1,2)+t(3,2,4) e é ortogonal ao plano 2 x+y-3 z+4=0. R. 10 x-17 y+z+25=0

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que contém a reta
(x,y,z)=(-1,1,2)+t\,(3,2,4)
e é ortogonal ao plano
2x + y - 3z + 4 = 0.
O conteúdo envolve duas ideias:
  1. Um plano que contém uma reta deve ter a direção dessa reta contida no próprio plano.
  2. Dois planos são ortogonais se, e somente se, seus vetores normais são ortogonais.

Passo 2

Identificamos os vetores relevantes:
– A direção da reta é \mathbf{d}=(3,2,4).
– O vetor normal do plano dado é \mathbf{n}_1=(2,1,-3).
Para que o novo plano contenha a reta, seu normal \mathbf{n} deve satisfazer
\mathbf{n}\cdot\mathbf{d}=0,
e para que seja ortogonal ao plano dado, deve satisfazer
\mathbf{n}\cdot\mathbf{n}_1=0.

Passo 3

Um vetor ortogonal simultaneamente a \mathbf{d} e a \mathbf{n}_1 é dado pelo produto vetorial
\mathbf{n}=\mathbf{d}\times \mathbf{n}_1 =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 3&2&4\\\\ 2&1&-3 \end{vmatrix} =(-10,17,-1).
Podemos simplificar trocando o sinal para obter
\mathbf{n}=(10,-17,1).

Passo 4

A equação geral do plano é
10x-17y+1z+d=0.
Como ele contém o ponto (-1,1,2) (caso t=0), substituímos:
10(-1)-17\cdot1+2 + d = 0 \;\Longrightarrow\;-10-17+2+d=0 \;\Longrightarrow\;d=25.

Resposta

A equação do plano é
10x - 17y + z + 25 = 0.

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