Dado o vetor \vec{u}=(3,4), quantos vetores \vec{v} paralelos a \vec{u} existem tais que \|\vec{v}\|=25 ?

Passo 1

O enunciado dá o vetor \vec{u}=(3,4) e pergunta quantos vetores \vec{v} paralelos a \vec{u} existem tais que \|\vec{v}\|=25.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Vetor dado: \vec{u}=(3,4).
  • Condição para \vec{v}: ser paralelo a \vec{u} e ter norma \|\vec{v}\|=25.
  • O que se quer: a quantidade de vetores \vec{v} que satisfazem essas condições.

Passo 2

Conceito chave: vetores paralelos. Dois vetores são paralelos quando um é múltiplo escalar do outro. Então, se \vec{v} é paralelo a \vec{u}, existe um escalar k\in\mathbb{R} tal que
\vec{v}=k\,\vec{u}.
Aqui:
  • \vec{v} é o vetor desconhecido que queremos;
  • k é um número real (positivo, negativo ou zero) que escala \vec{u};
  • \vec{u} é o vetor dado (3,4).

Passo 3

Fórmula da norma (magnitude) de um vetor no plano: para \vec{w}=(w_1,w_2) tem-se
\|\vec{w}\|=\sqrt{w_1^2+w_2^2}.
Aplicando isso a \vec{u}=(3,4),
\|\vec{u}\|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
Portanto a magnitude de \vec{u} é \|\vec{u}\|=5.

Passo 4

Usando \vec{v}=k\vec{u}, a norma de \vec{v} satisfaz
\|\vec{v}\|=\|k\vec{u}\|=|k|\,\|\vec{u}\|.
Aqui explico: |k| é o valor absoluto de k, porque escalar por k aumenta a magnitude por |k| independentemente do sinal de k.
Queremos \|\vec{v}\|=25. Substituindo \|\vec{u}\|=5,
25=|k|\cdot 5.

Passo 5

Resolver para |k|:
|k|=\frac{25}{5}=5.
Assim k pode ser k=5 ou k=-5 (são as duas soluções reias para k com valor absoluto igual a 5).

Passo 6

Calcular explicitamente os vetores correspondentes a cada k.
Para k=5:
\vec{v}=5\vec{u}=5(3,4)=(15,20).
Para k=-5:
\vec{v}=-5\vec{u}=-5(3,4)=(-15,-20).
Portanto os vetores paralelos a \vec{u} com norma 25 são (15,20) e (-15,-20).

Resposta

2

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