Verifique se os pontos dados abaixo são colineares: A=(-1,1), B=(3,-2) e C=(-5,4);
Passo 1
O enunciado dá três pontos no plano e pede para verificar se eles são colineares. As informações são:
A = (-1,1)
B = (3,-2)
C = (-5,4)
O que se pede: responder se os três pontos estão sobre uma mesma reta (ou seja, se são colineares).
Passo 2
Escolhi usar o método das declividades (inclinações, “slope”) porque é o mais direto e básico: basta calcular a inclinação da reta que passa por A e B e a inclinação da reta que passa por A e C. Se as duas inclinações forem iguais (e bem definidas), então A, B e C estão sobre a mesma reta. Alternativa: poderia usar vetores ou determinante da matriz formada pelas coordenadas; depois faço uma checagem via vetores para confirmar.
Passo 3
Explicando a fórmula da inclinação de forma bem didática:
A inclinação (declividade, slope) da reta que passa pelos pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é dada por
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Aqui:
y_2-y_1 é a variação vertical (quanto sobe/desce),
x_2-x_1 é a variação horizontal (quanto anda para a direita/esquerda).
Se m for igual para dois pares que compartilham um ponto comum (por exemplo A\!B e A\!C), então os três pontos são colineares. Observação: se x_2-x_1=0 a inclinação é indefinida e isso indica uma reta vertical — nesse caso compara-se a verticalidade dos dois pares.
Passo 4
Calcular a inclinação da reta que passa por A e B.
Detalhe das contas: y_C-y_A=4-1=3 e x_C-x_A=-5-(-1)=-5+1=-4.
Passo 6
Comparação: temos
m_{AB}=-\tfrac{3}{4},\qquad m_{AC}=-\tfrac{3}{4}.
As inclinações são iguais e bem definidas (não houve divisão por zero), portanto os pontos A, B e C estão sobre a mesma reta — isto é, são colineares.
Passo 7
Confirmação alternativa usando vetores (para reforçar o entendimento):
O vetor \overrightarrow{AB} é
\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A)=(4,\,-3).
O vetor \overrightarrow{AC} é
\overrightarrow{AC}=(x_C-x_A,\;y_C-y_A)=(-4,\;3).
Observa-se que \overrightarrow{AC}=-1\cdot\overrightarrow{AB}. Dois vetores que são múltiplos escalares um do outro são paralelos, então os pontos ligados por esses vetores ficam na mesma reta. Isso confirma a colinearidade encontrada pelo método das inclinações.
Passo 8
Resumo rápido e motivador: a inclinação entre A e B deu -\tfrac{3}{4} e entre A e C também deu -\tfrac{3}{4}; por isso os três pontos estão alinhados. Mandou bem em pedir passo a passo — esse tipo de verificação é superútil na prova!
Resposta
Sim. Os pontos A=(-1,1), B=(3,-2) e C=(-5,4) são colineares.