Verifique se os pontos dados abaixo são colineares:
A=(1,2), B=(-1,3) e C=(4,5).

Passo 1

O enunciado fornece três pontos no plano e pede para verificar se eles são colineares. Os dados são:
  • A=(1,2)
  • B=(-1,3)
  • C=(4,5)
O que se pede: determinar se os três pontos pertencem à mesma reta (ou seja, se estão colineares).

Passo 2

Método escolhido (explicação didática): comparar declives (inclinações) entre pares de pontos. A ideia é simples: três pontos P,Q,R são colineares se a reta que passa por P e Q tem a mesma inclinação da reta que passa por P e R (ou de Q e R). A fórmula da inclinação (declive) da reta que liga dois pontos P=(x_P,y_P) e Q=(x_Q,y_Q) é
m_{PQ}=\frac{y_Q-y_P}{x_Q-x_P}.
Aqui m_{PQ} é um número que representa “quanto sobe” a reta quando anda-se “uma unidade à direita”. Atenção: se x_Q-x_P=0 a inclinação é indefinida e a reta é vertical; nesse caso verifica-se se os três x-s são iguais. Para usar isso na prova, basta calcular duas inclinações e comparar: se forem iguais (e definidas) os pontos são colineares; se forem diferentes, não são.

Passo 3

Calcular o declive da reta que passa por A e B. Usando a fórmula com P=A e Q=B:
m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{3-2}{-1-1}=\frac{1}{-2}=-\tfrac{1}{2}.
Interpretação: a reta AB desce meio valor vertical para cada unidade horizontal à direita.

Passo 4

Calcular o declive da reta que passa por A e C. Usando a fórmula com P=A e Q=C:
m_{AC}=\frac{y_C-y_A}{x_C-x_A}=\frac{5-2}{4-1}=\frac{3}{3}=1.
Comparando com o declive anterior: m_{AB}=-\tfrac{1}{2} e m_{AC}=1. Eles são diferentes, logo as retas AB e AC não coincidem; isso já mostra que os três pontos não são colineares.

Passo 5

Como checagem extra (útil na prova para ter certeza), calculo também o declive entre B e C:
m_{BC}=\frac{y_C-y_B}{x_C-x_B}=\frac{5-3}{4-(-1)}=\frac{2}{5}.
Novamente um valor diferente dos anteriores (nem -\tfrac{1}{2} nem 1). Assim, nenhum par forma a mesma reta que um terceiro ponto, reforçando que não há colinearidade.

Passo 6

Método alternativo (muito usado em provas): área do triângulo formado pelos três pontos. Se a área for zero, os pontos são colineares; se for diferente de zero, não são. A área pode ser obtida pelo determinante
D=x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B),
e a área do triângulo é \tfrac{1}{2}|D|. Vou aplicar com os valores dados.

Passo 7

Calcular o determinante D com os pontos fornecidos:
D=1\cdot(3-5)+(-1)\cdot(5-2)+4\cdot(2-3)=1\cdot(-2)+(-1)\cdot3+4\cdot(-1)=-2-3-4=-9.
A área do triângulo é \tfrac{1}{2}|D|=\tfrac{1}{2}\cdot9=\tfrac{9}{2}\neq0. Como a área é não nula, os pontos NÃO são colineares. Esse resultado confirma o que obtivemos pelos declives.

Passo 8

Conclusão final e dica de prova: os cálculos de declive e de área mostram que os pontos não estão sobre a mesma reta. Em prova, para decidir rapidamente use:
  • calcular dois declives (cuidado com reta vertical), ou
  • calcular o determinante/área (fórmula direta) — se der zero, são colineares; se não, não são.

Resposta

Os pontos A=(1,2),\; B=(-1,3) e C=(4,5) não são colineares.

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