Verifique se os pontos dados abaixo são colineares:
e
.
Passo 1
O enunciado fornece três pontos no plano e pede para verificar se eles são colineares. Os dados são:
O que se pede: determinar se os três pontos pertencem à mesma reta (ou seja, se estão colineares).
Passo 2
Método escolhido (explicação didática): comparar declives (inclinações) entre pares de pontos. A ideia é simples: três pontos
são colineares se a reta que passa por
e
tem a mesma inclinação da reta que passa por
e
(ou de
e
). A fórmula da inclinação (declive) da reta que liga dois pontos
e
é
Aqui
é um número que representa “quanto sobe” a reta quando anda-se “uma unidade à direita”. Atenção: se
a inclinação é indefinida e a reta é vertical; nesse caso verifica-se se os três
-s são iguais. Para usar isso na prova, basta calcular duas inclinações e comparar: se forem iguais (e definidas) os pontos são colineares; se forem diferentes, não são.
Passo 3
Calcular o declive da reta que passa por
e
. Usando a fórmula com
e
:
Interpretação: a reta
desce meio valor vertical para cada unidade horizontal à direita.
Passo 4
Calcular o declive da reta que passa por
e
. Usando a fórmula com
e
:
Comparando com o declive anterior:
e
. Eles são diferentes, logo as retas
e
não coincidem; isso já mostra que os três pontos não são colineares.
Passo 5
Como checagem extra (útil na prova para ter certeza), calculo também o declive entre
e
:
Novamente um valor diferente dos anteriores (nem
nem
). Assim, nenhum par forma a mesma reta que um terceiro ponto, reforçando que não há colinearidade.
Passo 6
Método alternativo (muito usado em provas): área do triângulo formado pelos três pontos. Se a área for zero, os pontos são colineares; se for diferente de zero, não são. A área pode ser obtida pelo determinante
e a área do triângulo é
. Vou aplicar com os valores dados.
Passo 7
Calcular o determinante
com os pontos fornecidos:
A área do triângulo é
. Como a área é não nula, os pontos NÃO são colineares. Esse resultado confirma o que obtivemos pelos declives.
Passo 8
Conclusão final e dica de prova: os cálculos de declive e de área mostram que os pontos não estão sobre a mesma reta. Em prova, para decidir rapidamente use:
- calcular dois declives (cuidado com reta vertical), ou
- calcular o determinante/área (fórmula direta) — se der zero, são colineares; se não, não são.
Resposta
Os pontos
e
não são colineares.