Dado o vetor vec{v}=(2,-1,-3), determinar o vetor paralelo a vec{v} que tenha
sentido contrário ao de \overrightarrow{\mathrm{v}} e três vezes o módulo de \overrightarrow{\mathrm{v}};

Passo 1

O enunciado dá o vetor \vec{v}=(2,-1,-3) e pede um vetor que satisfaça três condições ao mesmo tempo:
  • seja paralelo a \vec{v};
  • tenha sentido contrário ao de \vec{v};
  • tenha módulo igual a três vezes o módulo de \vec{v}.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • vetor dado: \vec{v}=(2,-1,-3).

Passo 2

Conceitos importantes (explicados de forma simples):
  • Dois vetores são paralelos se um é múltiplo escalar do outro. Ou seja, \vec{w} é paralelo a \vec{v} quando existe um escalar k tal que \vec{w}=k\vec{v}.
  • O sentido (mesmo ou contrário) é decidido pelo sinal desse escalar k: se k>0 os vetores têm o mesmo sentido; se k<0 têm sentidos opostos.
  • O módulo (norma) de um múltiplo escalar satisfaz \lvert k\vec{v}\rvert = \lvert k\rvert\,\lvert \vec{v}\rvert. Ou seja, multiplicar o vetor por k multiplica seu comprimento por \lvert k\rvert.
Com essas ideias, se procuramos \vec{w} paralelo a \vec{v}, sentido contrário e com módulo 3\lvert \vec{v}\rvert, basta buscar um escalar k tal que
\vec{w}=k\vec{v},\qquad \lvert k\rvert\,\lvert \vec{v}\rvert = 3\lvert \vec{v}\rvert,
e com k<0.

Passo 3

Calcular o módulo de \vec{v} (para entender a relação):
\lvert \vec{v}\rvert = \sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-3)^{2}} = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14}.

Passo 4

Determinar o escalar k.
A condição \lvert k\rvert\,\lvert \vec{v}\rvert = 3\lvert \vec{v}\rvert implica, como \lvert \vec{v}\rvert>0,
\lvert k\rvert = 3.
Como queremos sentido contrário a \vec{v}, devemos escolher k<0. Portanto
k = -3.

Passo 5

Construir o vetor procurado multiplicando \vec{v} por k=-3:
\vec{w} = -3\vec{v} = -3(2,-1,-3) = (-6,3,9).

Passo 6

Verificação rápida do módulo para confirmar que deu certo:
\lvert \vec{w}\rvert = \sqrt{(-6)^{2}+3^{2}+9^{2}} = \sqrt{36+9+81} = \sqrt{126} = \sqrt{9\cdot14}=3\sqrt{14}=3\lvert \vec{v}\rvert.
Também \vec{w} é múltiplo negativo de \vec{v}, então tem sentido contrário. Tudo confere.

Resposta

(-6,3,9)

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