Dado o vetor vec{v}=(2,-1,-3), determinar o vetor paralelo a vec{v} que tenha
o mesmo sentido de \overrightarrow{\mathrm{v}} e módulo 4;

Passo 1

O enunciado dá o vetor \vec{v}=(2,-1,-3) e pede: determinar um vetor paralelo a \vec{v}, que tenha o mesmo sentido de \vec{v} e módulo 4.
Informações relevantes do enunciado:
  • Vetor dado: \vec{v}=(2,-1,-3).
  • Queremos um vetor paralelo a \vec{v} (ou seja, obtido por multiplicação escalar de \vec{v}).
  • O vetor procurado deve ter o mesmo sentido de \vec{v} (o fator escalar deve ser positivo).
  • O módulo do vetor procurado deve ser 4.

Passo 2

Entender o que significa “vetor paralelo com mesmo sentido e módulo dado”. Quando multiplicamos \vec{v} por um escalar positivo k>0 obtemos um vetor paralelo e com o mesmo sentido. O módulo desse novo vetor é |k| vezes o módulo de \vec{v}. Portanto, para obter módulo 4 precisamos achar k>0 tal que
\|k\vec{v}\|=4.
Como \|k\vec{v}\|=|k|\,\|\vec{v}\| e queremos k>0, isso vira
k\,\|\vec{v}\|=4 \quad\Rightarrow\quad k=\dfrac{4}{\|\vec{v}\|}.

Passo 3

Calcular o módulo (norma) de \vec{v}. A norma de um vetor (x,y,z) em \mathbb{R}^3 é
\sqrt{x^2+y^2+z^2}.
Aplicando a \vec{v}=(2,-1,-3):
\|\vec{v}\|=\sqrt{2^2+(-1)^2+(-3)^2}=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14}.

Passo 4

Calcular o fator escalar k que ajusta o módulo para 4:
k=\dfrac{4}{\|\vec{v}\|}=\dfrac{4}{\sqrt{14}}.
Observação: k>0, então o vetor resultante terá o mesmo sentido de \vec{v}, conforme exigido.

Passo 5

Aplicar o fator escalar \dfrac{4}{\sqrt{14}} a \vec{v}. Multiplicando componente a componente:
\vec{w}=k\vec{v}=\dfrac{4}{\sqrt{14}}(2,-1,-3).
Escrevendo as componentes explicitamente:
\vec{w}=\left(\dfrac{8}{\sqrt{14}},-\dfrac{4}{\sqrt{14}},-\dfrac{12}{\sqrt{14}}\right).

Passo 6

Verificação rápida do módulo de \vec{w}:
\|\vec{w}\|=\left\|\dfrac{4}{\sqrt{14}}\vec{v}\right\|=\dfrac{4}{\sqrt{14}}\|\vec{v}\|=\dfrac{4}{\sqrt{14}}\sqrt{14}=4,
logo a construção está correta. E como o fator escalar é positivo, o vetor tem o mesmo sentido de \vec{v}.

Resposta

\dfrac{4}{\sqrt{14}}(2,-1,-3)

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