Dados os pontos A=(3,-2) e B=(-1,5) e sejam os vetores \vec{u}=(-2,3) e \vec{v}=(-1,-3).
Calcule:
\left\|\frac{1}{2} \vec{u}-3 \vec{v}\right\|

Passo 1

O enunciado dá os pontos e vetores seguintes (guardados apenas para referência; aqui usamos só os vetores):
  • \vec{u}=(-2,3)
  • \vec{v}=(-1,-3)
O que é pedido:
  • Calcular a norma (módulo) de \dfrac{1}{2}\vec{u}-3\vec{v}, ou seja encontrar
\left\|\frac{1}{2}\vec{u}-3\vec{v}\right\|.

Passo 2

Lembretes e definições úteis (explicados de forma prática):
  • Multiplicação de vetor por escalar: se \vec{a}=(a_1,a_2) e \lambda é um número, então
\lambda\vec{a}=(\lambda a_1,\lambda a_2).
Isto é, multiplica-se cada componente pelo escalar.
  • Soma (ou subtração) de vetores: se \vec{p}=(p_1,p_2) e \vec{q}=(q_1,q_2), então
\vec{p}\pm\vec{q}=(p_1\pm q_1,\;p_2\pm q_2).
  • Norma euclidiana em \mathbb{R}^2: para \vec{w}=(w_1,w_2),
\|\vec{w}\|=\sqrt{w_1^{2}+w_2^{2}}.
Isto vem do teorema de Pitágoras: o comprimento do vetor é a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes.

Passo 3

Calcular \dfrac{1}{2}\vec{u}. Aplicando a definição de multiplicação por escalar a \vec{u}=(-2,3):
\frac{1}{2}\vec{u}=\left(\frac{1}{2}\cdot(-2),\;\frac{1}{2}\cdot 3\right)=\left(-1,\;\frac{3}{2}\right).

Passo 4

Calcular -3\vec{v}. Note que -3\vec{v}=(-3)\cdot\vec{v}. Para \vec{v}=(-1,-3):
-3\vec{v}=\bigl(-3\cdot(-1),\;-3\cdot(-3)\bigr)=(3,9).
(Observação: o sinal negativo vezes componente negativa vira positivo.)

Passo 5

Agora somamos os vetores obtidos para ter o vetor desejado:
\frac{1}{2}\vec{u}-3\vec{v}=\left(-1,\;\frac{3}{2}\right)+(3,9).
Somando componente a componente:
\frac{1}{2}\vec{u}-3\vec{v}=\left(-1+3,\;\frac{3}{2}+9\right)=\left(2,\;\frac{3}{2}+\frac{18}{2}\right)=\left(2,\;\frac{21}{2}\right).

Passo 6

Calcular a norma do vetor \left(2,\dfrac{21}{2}\right) usando a fórmula da norma:
\left\|\frac{1}{2}\vec{u}-3\vec{v}\right\|=\sqrt{2^{2}+\left(\frac{21}{2}\right)^{2}}.
Agora desenvolve os quadrados:
2^{2}=4,\qquad \left(\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{441}{4}.
Somando sob o mesmo denominador:
4=\frac{16}{4}\quad\Rightarrow\quad 4+\frac{441}{4}=\frac{16}{4}+\frac{441}{4}=\frac{457}{4}.
Logo
\left\|\frac{1}{2}\vec{u}-3\vec{v}\right\|=\sqrt{\frac{457}{4}}=\frac{\sqrt{457}}{2}.

Resposta

\dfrac{\sqrt{457}}{2}

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