Dado o vetor
, encontrar o vetor paralelo a
tal que:
Seja do mesmo sentido do
e três vezes o módulo de
.
Seja do mesmo sentido do
Passo 1
O enunciado dá o vetor
e pede: encontrar um vetor que seja paralelo a
, tenha o mesmo sentido de
e cujo módulo seja três vezes o módulo de
.
Informações relevantes fornecidas:
-
. - Queremos um vetor paralelo a
. - O vetor procurado deve ter o mesmo sentido de
(ou seja, não pode inverter a direção). - O módulo do vetor procurado deve ser três vezes o módulo de
.
Passo 2
Entendendo o que significa “paralelo” e “mesmo sentido” para vetores (aulas rápidas):
- Dois vetores são paralelos se um é múltiplo escalar do outro. Ou seja, se existir um número
tal que . - “Mesmo sentido” significa que esse escalar
deve ser positivo (se o sentido inverte). - A propriedade importante do módulo sob multiplicação escalar é:
Aqui
denota o módulo (norma) do vetor
.
Também vale lembrar a fórmula do módulo de um vetor em
:
onde
são as componentes de
.
Passo 3
Calcular o módulo de
(vamos precisar desse valor para entender o fator escalar necessário).
Passo 4
Modelar o vetor procurado como
com
(mesmo sentido). A condição do enunciado exige
Usando a propriedade de escala do módulo:
Portanto devemos ter
Como
é diferente de zero, podemos dividir ambos os lados por
e obtemos
Passo 5
Concluímos que o vetor procurado é
. Isso garante:
- paralelismo (é múltiplo escalar),
- mesmo sentido (escala
), - módulo três vezes maior (pela propriedade da multiplicação escalar).
Verificação do módulo (para confirmar):
que é exatamente três vezes
.
Passo 6
Como exercício mental rápido: multiplicar um vetor por
simplesmente multiplica cada componente por
. Isso preserva a direção e escala o comprimento por
. Fica a dica: em prova, esse tipo de pergunta é quase imediata se lembrar da propriedade
— respira e aplica.