Dado o vetor vec{v}=(2,-1,-3), encontrar o vetor paralelo a vec{v} tal que:
Seja do mesmo sentido do vec{v} e três vezes o módulo de vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá o vetor \vec{v}=(2,-1,-3) e pede: encontrar um vetor que seja paralelo a \vec{v}, tenha o mesmo sentido de \vec{v} e cujo módulo seja três vezes o módulo de \vec{v}.
Informações relevantes fornecidas:
  • \vec{v}=(2,-1,-3).
  • Queremos um vetor paralelo a \vec{v}.
  • O vetor procurado deve ter o mesmo sentido de \vec{v} (ou seja, não pode inverter a direção).
  • O módulo do vetor procurado deve ser três vezes o módulo de \vec{v}.

Passo 2

Entendendo o que significa “paralelo” e “mesmo sentido” para vetores (aulas rápidas):
  • Dois vetores são paralelos se um é múltiplo escalar do outro. Ou seja, se existir um número k tal que \vec{w}=k\vec{v}.
  • “Mesmo sentido” significa que esse escalar k deve ser positivo (se k<0 o sentido inverte).
  • A propriedade importante do módulo sob multiplicação escalar é:
\|\;k\vec{v}\;\| = |k|\,\|\vec{v}\|.
Aqui \|\vec{v}\| denota o módulo (norma) do vetor \vec{v}.
Também vale lembrar a fórmula do módulo de um vetor em \mathbb{R}^3:
\|\vec{v}\| = \sqrt{v_1^{2}+v_2^{2}+v_3^{2}},
onde v_1,v_2,v_3 são as componentes de \vec{v}.

Passo 3

Calcular o módulo de \vec{v} (vamos precisar desse valor para entender o fator escalar necessário).
\|\vec{v}\| = \sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-3)^{2}} = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14}.

Passo 4

Modelar o vetor procurado como \vec{w}=k\vec{v} com k>0 (mesmo sentido). A condição do enunciado exige
\|\vec{w}\| = 3\|\vec{v}\|.
Usando a propriedade de escala do módulo:
\|\vec{w}\| = \|k\vec{v}\| = |k|\,\|\vec{v}\| = k\,\|\vec{v}\| \quad\text{(pois \(k>0\))}.
Portanto devemos ter
k\,\|\vec{v}\| = 3\,\|\vec{v}\|.
Como \|\vec{v}\| é diferente de zero, podemos dividir ambos os lados por \|\vec{v}\| e obtemos
k=3.

Passo 5

Concluímos que o vetor procurado é \vec{w}=3\vec{v}. Isso garante:
  • paralelismo (é múltiplo escalar),
  • mesmo sentido (escala k=3>0),
  • módulo três vezes maior (pela propriedade da multiplicação escalar).
Verificação do módulo (para confirmar):
\|\vec{w}\|=\|3\vec{v}\|=3\|\vec{v}\|=3\sqrt{14},
que é exatamente três vezes \|\vec{v}\|=\sqrt{14}.

Passo 6

Como exercício mental rápido: multiplicar um vetor por 3 simplesmente multiplica cada componente por 3. Isso preserva a direção e escala o comprimento por 3. Fica a dica: em prova, esse tipo de pergunta é quase imediata se lembrar da propriedade \|k\vec{v}\|=|k|\|\vec{v}\| — respira e aplica.

Resposta

\vec{w}=(6,-3,-9)

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