Obtenha a curvatura das seguintes curvas regulares:
\alpha(t)=(\cos t(2 \cos t-1), \sin t(2 \cos t-1)), \quad t \in \mathbb{R} (cardioide);

Passo 1

O enunciado dá a curva regular
\alpha(t)=\bigl(\cos t(2\cos t-1),\;\sin t(2\cos t-1)\bigr),\qquad t\in\mathbb{R},
e pede para obter a curvatura \kappa(t) dessa curva.
Informações dadas que vamos usar:
  • As componentes da curva estão escritas como x(t)=\cos t(2\cos t-1) e y(t)=\sin t(2\cos t-1).
  • O parâmetro é t\in\mathbb{R}.
    A pergunta é única: encontrar a expressão de \kappa(t) para todo t.

Passo 2

Observação sobre a forma da curva (sem resolver ainda): a posição está escrita como (r\cos t,r\sin t) com r=2\cos t-1. Ou seja, \alpha(t) é dada em coordenadas polares por r(t)=2\cos t-1 e ângulo \theta=t.
Por isso escolho usar a fórmula da curvatura para curvas em coordenadas polares: isso simplifica muito as contas em comparação com derivar duas vezes as componentes em x,y e aplicar diretamente a fórmula cartesiana. É uma escolha prática — o resultado final será equivalente ao obtido pela fórmula cartesiana.

Passo 3

Explicando a fórmula que vamos usar (aulas rápidas e claras):
  • Curvatura para curva parametrizada em plano. Se \alpha(t)=(x(t),y(t)) é regular, uma fórmula prática é
\kappa(t)=\frac{|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)|}{\bigl(x'(t)^2+y'(t)^2\bigr)^{3/2}}.
Aqui x',x'' e y',y'' são as primeiras e segundas derivadas em relação a t. Geometricamente \kappa mede quanto a direção tangente gira por unidade de comprimento (é a magnitude da derivada da versor tangente em relação ao comprimento de arco).
  • Fórmula em coordenadas polares (caso \alpha(\theta)=r(\theta)(\cos\theta,\sin\theta)). Seja r=r(\theta). Então a curvatura em função de \theta é
\kappa(\theta)=\frac{\bigl|\,r(\theta)^2+2\bigl(r'(\theta)\bigr)^2-r(\theta)r''(\theta)\,\bigr|}{\bigl(r(\theta)^2+\bigl(r'(\theta)\bigr)^2\bigr)^{3/2}}.
Aqui r'=\dfrac{dr}{d\theta} e r''=\dfrac{d^2r}{d\theta^2}. Essa expressão é obtida substituindo x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta na fórmula cartesiana e simplificando; vou aplicar essa fórmula com \theta=t.

Passo 4

Identificar r(t) e calcular r',r'':
r(t)=2\cos t-1.
Derivando:
r'(t)=-2\sin t, \qquad r''(t)=-2\cos t.

Passo 5

Calcular os termos da fórmula polar passo a passo.
  1. Calcular r(t)^2:
r(t)^2=(2\cos t-1)^2=4\cos^2 t-4\cos t+1.
  1. Calcular 2\bigl(r'(t)\bigr)^2:
2\bigl(r'(t)\bigr)^2=2\bigl(-2\sin t\bigr)^2=2\cdot 4\sin^2 t=8\sin^2 t.
  1. Calcular -r(t)r''(t) (observe o sinal da fórmula):
-r(t)r''(t)=-\bigl(2\cos t-1\bigr)\bigl(-2\cos t\bigr)=4\cos^2 t-2\cos t.
Somando os três termos do numerador:
\begin{aligned} r^2+2(r')^2 - r r'' &= \bigl(4\cos^2 t-4\cos t+1\bigr) + 8\sin^2 t + \bigl(4\cos^2 t-2\cos t\bigr)\\[4pt] &= \bigl(4\cos^2 t+4\cos^2 t\bigr) + 8\sin^2 t + (-4\cos t-2\cos t) +1\\[4pt] &= 8\cos^2 t + 8\sin^2 t -6\cos t +1. \end{aligned}
Agora use \sin^2 t+\cos^2 t=1, então 8\cos^2 t+8\sin^2 t=8. Portanto
r^2+2(r')^2 - r r'' = 8 -6\cos t +1 = 9 -6\cos t.
Como \cos t\in[-1,1], temos 9-6\cos t>0 para todo t, então o módulo é dispensável:
\bigl|r^2+2(r')^2 - r r''\bigr| = 9-6\cos t.]

Passo 6

Calcular o denominador r^2+(r')^2 e elevar à potência 3/2:
r^2+(r')^2 = \bigl(4\cos^2 t-4\cos t+1\bigr) + \bigl(-2\sin t\bigr)^2 =4\cos^2 t-4\cos t+1 +4\sin^2 t.
Novamente 4\cos^2 t+4\sin^2 t=4, então
r^2+(r')^2 = 4 -4\cos t +1 = 5 -4\cos t.
Portanto o denominador da fórmula da curvatura é \bigl(5-4\cos t\bigr)^{3/2}.

Passo 7

Juntando numerador e denominador pela fórmula polar, obtemos
\kappa(t)=\frac{9-6\cos t}{\bigl(5-4\cos t\bigr)^{3/2}}.
Também podemos escrever fatorando 3:
\kappa(t)=\frac{3\bigl(3-2\cos t\bigr)}{\bigl(5-4\cos t\bigr)^{3/2}}.
Passadinha rápida para checar (exemplo numérico): em t=0 tem \cos 0=1, então
\kappa(0)=\frac{9-6}{(5-4)^{3/2}}=\frac{3}{1}=3,
e em t=\pi tem \cos\pi=-1, então
\kappa(\pi)=\frac{9-6(-1)}{(5-4(-1))^{3/2}}=\frac{15}{9^{3/2}}=\frac{15}{27}=\frac{5}{9},
o que mostra a expressão está coerente com valores concretos.

Resposta

\kappa(t)=\frac{9-6\cos t}{\bigl(5-4\cos t\bigr)^{3/2}}=\frac{3\bigl(3-2\cos t\bigr)}{\bigl(5-4\cos t\bigr)^{3/2}}.

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