Considere os vetores vec{u}=\frac{1}{3} \vec{i}-1 \vec{j}+2 \vec{k} e vec{v}=-2 \vec{i}+\frac{1}{3} \vec{i}-3 \vec{k}, calcule o valor de vec{x} em:
2(\vec{u}-\vec{v})+\frac{3}{2} \vec{x}=\vec{u}-2 \vec{x}

Passo 1

Vou listar de forma clara o que o enunciado nos deu e o que pede (peguei os vetores do enunciado).
  • Vetores fornecidos:
    • \vec{u}=\dfrac{1}{3}\vec{i}-1\vec{j}+2\vec{k}.
    • \vec{v}=-2\vec{i}+\dfrac{1}{3}\vec{i}-3\vec{k}.
  • Equação vetorial a resolver para \vec{x}: 2(\vec{u}-\vec{v})+\dfrac{3}{2}\vec{x}=\vec{u}-2\vec{x}.
O objetivo é encontrar o vetor \vec{x} que satisfaz essa igualdade.

Passo 2

Primeiro vamos entender regras básicas de operações com vetores que vou usar (rapidinho, como se eu tivesse te explicando passo a passo):
  • Dois vetores são iguais se e somente se suas componentes correspondentes forem iguais. Ou seja, trabalha-se componente a componente.
  • Multiplicação por escalar: para um escalar a e vetor \vec{w}=(w_x,w_y,w_z), tem-se a\vec{w}=(a w_x, a w_y, a w_z).
  • Soma/subtração de vetores: soma componente a componente.
  • Para resolver uma equação linear em vetores como \alpha\vec{u}+\beta\vec{x}=\gamma\vec{u}+\delta\vec{x}, podemos agrupar os termos com \vec{x} de um lado e os demais do outro, somando os escalares correspondentes.
Agora vou reescrever os vetores como trípulos de componentes para facilitar os cálculos. Note que em \vec{v} há dois termos em \vec{i}: -2\vec{i}+\dfrac{1}{3}\vec{i}. Esses somam:
-2+\dfrac{1}{3}=-\dfrac{6}{3}+\dfrac{1}{3}=-\dfrac{5}{3}.
Assim podemos escrever os vetores em componentes:
\vec{u}=\left(\dfrac{1}{3},\,-1,\,2\right),\qquad \vec{v}=\left(-\dfrac{5}{3},\,0,\,-3\right).

Passo 3

Calcular \vec{u}-\vec{v} componente a componente (explico: subtrai-se cada componente correspondente):
\vec{u}-\vec{v}=\left(\dfrac{1}{3}-\left(-\dfrac{5}{3}\right),\; -1-0,\; 2-(-3)\right).
Agora simplifico cada componente:
\dfrac{1}{3}-\left(-\dfrac{5}{3}\right)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{3}=\dfrac{6}{3}=2,
-1-0=-1,
2-(-3)=2+3=5.
Logo
\vec{u}-\vec{v}=(2,\,-1,\,5).

Passo 4

Multiplicar por 2 o vetor \vec{u}-\vec{v} (escalares multiplicam cada componente):
2(\vec{u}-\vec{v})=2(2,\,-1,\,5)=(4,\,-2,\,10).

Passo 5

Voltar à equação original e isolar \vec{x}. A equação é
2(\vec{u}-\vec{v})+\dfrac{3}{2}\vec{x}=\vec{u}-2\vec{x}.
Quero juntar os termos com \vec{x} no mesmo lado. Para isso, somo 2\vec{x} em ambos os lados e subtraio 2(\vec{u}-\vec{v}) de ambos os lados: obtemos
\dfrac{3}{2}\vec{x}+2\vec{x}=\vec{u}-2(\vec{u}-\vec{v}).
Explico essa manobra: somar ou subtrair o mesmo vetor em ambos os lados mantém a igualdade; o objetivo é ter um único coeficiente multiplicando \vec{x} à esquerda.

Passo 6

Somar os escalares que multiplicam \vec{x} no lado esquerdo:
\dfrac{3}{2}+2=\dfrac{3}{2}+\dfrac{4}{2}=\dfrac{7}{2}.
Então a equação vira
\dfrac{7}{2}\vec{x}=\vec{u}-2(\vec{u}-\vec{v}).
Agora simplifico o lado direito: calculo 2(\vec{u}-\vec{v}) (já calculei no Passo 4) e então faço \vec{u}- esse resultado.
Do Passo 4 temos 2(\vec{u}-\vec{v})=(4,-2,10). E \vec{u}=(\tfrac{1}{3},-1,2). Portanto
\vec{u}-2(\vec{u}-\vec{v})=\left(\dfrac{1}{3},-1,2\right)-(4,-2,10).
Faço a subtração componente a componente:
\left(\dfrac{1}{3}-4,\;-1-(-2),\;2-10\right).
Calculo cada componente:
\dfrac{1}{3}-4=\dfrac{1}{3}-\dfrac{12}{3}=-\dfrac{11}{3},
-1-(-2)=-1+2=1,
2-10=-8.
Logo
\vec{u}-2(\vec{u}-\vec{v})=\left(-\dfrac{11}{3},\,1,\,-8\right).

Passo 7

Agora voltamos à equação \dfrac{7}{2}\vec{x}=\left(-\dfrac{11}{3},\,1,\,-8\right). Para isolar \vec{x}, multiplicamos ambos os lados por \dfrac{2}{7} (que é o inverso de \dfrac{7}{2}). Assim
\vec{x}=\dfrac{2}{7}\left(-\dfrac{11}{3},\,1,\,-8\right).
Faço a multiplicação escalar componente a componente:
\text{componente }x: \dfrac{2}{7}\cdot\left(-\dfrac{11}{3}\right)=-\dfrac{22}{21},
\text{componente }y: \dfrac{2}{7}\cdot 1=\dfrac{2}{7},
\text{componente }z: \dfrac{2}{7}\cdot(-8)=-\dfrac{16}{7}.

Passo 8

É sempre bom checar rapidinho substituindo a solução na equação original para ver se fecha (verificação curta):
  • Calculando o lado esquerdo já no Passo 4 temos 2(\vec{u}-\vec{v})=(4,-2,10). Somando \dfrac{3}{2}\vec{x}: primeiro \dfrac{3}{2}\vec{x}=\dfrac{3}{2}\left(-\dfrac{22}{21},\dfrac{2}{7},-\dfrac{16}{7}\right)=\left(-\dfrac{33}{21},\dfrac{3}{7},-\dfrac{24}{7}\right). Somando com (4,-2,10) \left(4-\dfrac{33}{21},\,-2+\dfrac{3}{7},\,10-\dfrac{24}{7}\right).
  • Do lado direito, \vec{u}-2\vec{x}=\left(\dfrac{1}{3},-1,2\right)-2\left(-\dfrac{22}{21},\dfrac{2}{7},-\dfrac{16}{7}\right). Calculando 2\vec{x}=\left(-\dfrac{44}{21},\dfrac{4}{7},-\dfrac{32}{7}\right) e subtraindo obtemos o mesmo resultado componente a componente (confere com o lado esquerdo pelos cálculos; os termos racham igual).
A verificação fica coerente (os cálculos batem), então a solução está correta.

Resposta

\displaystyle \vec{x}=-\dfrac{22}{21}\vec{i}+\dfrac{2}{7}\vec{j}-\dfrac{16}{7}\vec{k}

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