Considere os vetores
e
, calcule o valor de
em:
Passo 1
Vou listar de forma clara o que o enunciado nos deu e o que pede (peguei os vetores do enunciado).
- Vetores fornecidos:
-
. -
.
-
- Equação vetorial a resolver para
:
O objetivo é encontrar o vetor
que satisfaz essa igualdade.
Passo 2
Primeiro vamos entender regras básicas de operações com vetores que vou usar (rapidinho, como se eu tivesse te explicando passo a passo):
- Dois vetores são iguais se e somente se suas componentes correspondentes forem iguais. Ou seja, trabalha-se componente a componente.
- Multiplicação por escalar: para um escalar
e vetor , tem-se . - Soma/subtração de vetores: soma componente a componente.
- Para resolver uma equação linear em vetores como
, podemos agrupar os termos com de um lado e os demais do outro, somando os escalares correspondentes.
Agora vou reescrever os vetores como trípulos de componentes para facilitar os cálculos. Note que em
há dois termos em
:
. Esses somam:
Assim podemos escrever os vetores em componentes:
Passo 3
Calcular
componente a componente (explico: subtrai-se cada componente correspondente):
Agora simplifico cada componente:
Logo
Passo 4
Multiplicar por
o vetor
(escalares multiplicam cada componente):
Passo 5
Voltar à equação original e isolar
. A equação é
Quero juntar os termos com
no mesmo lado. Para isso, somo
em ambos os lados e subtraio
de ambos os lados: obtemos
Explico essa manobra: somar ou subtrair o mesmo vetor em ambos os lados mantém a igualdade; o objetivo é ter um único coeficiente multiplicando
à esquerda.
Passo 6
Somar os escalares que multiplicam
no lado esquerdo:
Então a equação vira
Agora simplifico o lado direito: calculo
(já calculei no Passo 4) e então faço
esse resultado.
Do Passo 4 temos
. E
. Portanto
Faço a subtração componente a componente:
Calculo cada componente:
Logo
Passo 7
Agora voltamos à equação
. Para isolar
, multiplicamos ambos os lados por
(que é o inverso de
). Assim
Faço a multiplicação escalar componente a componente:
Passo 8
É sempre bom checar rapidinho substituindo a solução na equação original para ver se fecha (verificação curta):
- Calculando o lado esquerdo já no Passo 4 temos
. Somando : primeiro . Somando com dá . - Do lado direito,
. Calculando e subtraindo obtemos o mesmo resultado componente a componente (confere com o lado esquerdo pelos cálculos; os termos racham igual).
A verificação fica coerente (os cálculos batem), então a solução está correta.