Dado os vetores a=8 i+j-6 k e b=2 i+3 j+k, obtenha: (a) o ângulo entre a e b; (b) o ângulo que o vetor a faz com o eixo O X positivo.

Passo 1

Beleza, a gente tem dois vetores no espaço tridimensional:
e .
O que a questão pede:
a) o ângulo entre e ;
b) o ângulo que faz com o eixo positivo.
Conteúdo necessário: produto escalar de vetores, módulo de vetor e a relação entre produto escalar e cosseno do ângulo.

Passo 2

Primeiro, a teoria do produto escalar e módulo:
  • Produto escalar: ucdotv = ux vx + uy vy + uz vz
  • Módulo (comprimento) de um vetor: lvert urvert = raizux^2 + uy^2 + uz^2
  • Relação entre produto escalar e ângulo ucdotv = lvert urvert ,lvert vrvert costheta entre e :

Passo 3

Calculando os valores:
  1. Produto escalar acdotb = 8cdot2 + 1cdot3 + (-6)cdot1 = 16 + 3 - 6 = 13 : lvert arvert = raiz8^2 + 1^2 + (-6)^2 = raiz64 + 1 + 36 = raiz101
  2. Módulo de lvert brvert = raiz2^2 + 3^2 + 1^2 = raiz4 + 9 + 1 = raiz14 :
  3. Módulo de :

Passo 4

Ângulo entre costheta = acdotblvert arvert,lvert brvert = 13raiz101,raiz14 e theta = arccos!l(tfrac13raiz101,cdot,14r) approx arccos(0.3457) approx 69.8^circ :

Passo 5

Ângulo que cosalpha = acdotilvert arvert,lvert irvert = 8raiz101,cdot 1 = 8raiz101 approx 0.7960 faz com o eixo alpha = arccos!l(tfrac8raiz101r) approx 37.5^circ (vetor unitário ):

Resposta

a)
b)

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