Verificar se os pontos são Colineares. (vale 1)
\mathrm{A}(-1,-2,4), \mathrm{B}(2,1,3) e \mathrm{C}(2,3,5)

Passo 1

O enunciado pede: verificar se os três pontos são colineares. Os pontos fornecidos são:
  • A(-1,-2,4)
  • B(2,1,3)
  • C(2,3,5)
Informações relevantes dadas:
  • As coordenadas cartesianas de A, B e C.
  • A pergunta única: “são colineares?” (ou seja, estão na mesma reta).

Passo 2

O que significa “colineares” e como testar isso (explicação didática):
  • Três pontos A,B,C são colineares se e somente se os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} forem paralelos (ou se algum par tiver comprimento zero, caso dois pontos coincidam).
  • Vetores são paralelos quando um é múltiplo escalar do outro: existe \lambda tal que \overrightarrow{AB}=\lambda\,\overrightarrow{AC}.
  • Outra forma equivalente é: se existir t tal que A+t\,\overrightarrow{AB}=C (ou seja, C está na reta que passa por A na direção \overrightarrow{AB}).
    Vou usar a verificação de múltiplo escalar porque é a maneira mais direta e aritmética (fácil de fazer na prova). Como checagem extra, mostrarei também o método do parâmetro e o produto vetorial (cross product) — assim você aprende três jeitos de pensar no mesmo teste.

Passo 3

Calcular os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}. Lembre que, em coordenadas, \overrightarrow{PQ}=Q-P componente a componente.
  • \overrightarrow{AB}=B-A=(2-(-1),\,1-(-2),\,3-4).
    Portanto \overrightarrow{AB}=(3,\,3,\,-1).
  • \overrightarrow{AC}=C-A=(2-(-1),\,3-(-2),\,5-4).
    Portanto \overrightarrow{AC}=(3,\,5,\,1).

Passo 4

Teste de múltiplo escalar (passo a passo):
  • Se \overrightarrow{AB}=\lambda\,\overrightarrow{AC}, então componente a componente: 3=\lambda\cdot 3,\qquad 3=\lambda\cdot 5,\qquad -1=\lambda\cdot 1.
  • Da primeira equação obtemos \lambda=1.
  • Substituindo \lambda=1 na segunda equação daria 3=5, o que é falso.
    Portanto não existe \lambda que satisfaça todas as três igualdades ao mesmo tempo. Conclusão: \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} não são múltiplos escalares, logo não são paralelos.

Passo 5

Verificação via parâmetro (checagem alternativa, útil na prova):
  • A equação da reta que passa por A e B pode ser escrita como A+t\,\overrightarrow{AB}.
  • Procuramos t tal que A+t\,\overrightarrow{AB}=C. Isso dá o sistema componente a componente: -1+3t=2,\qquad -2+3t=3,\qquad 4-1\cdot t=5.
  • Resolver a primeira equação: -1+3t=2\Rightarrow 3t=3\Rightarrow t=1.
  • Com t=1, a segunda equação dá -2+3\cdot1=1, mas o lado direito precisa ser 3. Ou seja, 1\neq 3: contradição.
    Portanto não existe um t comum que leve A até C seguindo a direção AB. Logo C não está na reta AB.

Passo 6

Verificação pelo produto vetorial (produto cruzado) — explicação rápida e cálculo:
  • Dois vetores em \mathbb{R}^3 são paralelos se e só se o seu produto vetorial for o vetor nulo.
  • Calcular \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}. Usando a fórmula determinante: \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 3 & 3 & -1 \\\\ 3 & 5 & 1 \end{vmatrix}Expandindo: \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} =\mathbf{i}(3\cdot1-(-1)\cdot5)-\mathbf{j}(3\cdot1-(-1)\cdot3)+\mathbf{k}(3\cdot5-3\cdot3).Calculando cada parte: \mathbf{i}(3+5)-\mathbf{j}(3+3)+\mathbf{k}(15-9)=\mathbf{i}\,8-\mathbf{j}\,6+\mathbf{k}\,6.Ou seja \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(8,\,-6,\,6).
  • Esse vetor não é o vetor nulo (0,0,0), então \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} não são paralelos. Isso confirma os resultados anteriores.

Passo 7

Interpretação final e ânimo: fizemos três testes diferentes (proporcionalidade direta, equação paramétrica da reta e produto vetorial) e TODOS mostraram que os vetores direção são diferentes — sinal claro de que os pontos não estão na mesma reta. Dá para confiar: três métodos chegando à mesma conclusão é reconfortante numa prova!

Resposta

Não são colineares.

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