Verificar se os pontos são Colineares. (vale 1) \mathrm{A}(-1,-2,4), \mathrm{B}(2,1,3) e \mathrm{C}(2,3,5)
Passo 1
O enunciado pede: verificar se os três pontos são colineares. Os pontos fornecidos são:
A(-1,-2,4)
B(2,1,3)
C(2,3,5)
Informações relevantes dadas:
As coordenadas cartesianas de A, B e C.
A pergunta única: “são colineares?” (ou seja, estão na mesma reta).
Passo 2
O que significa “colineares” e como testar isso (explicação didática):
Três pontos A,B,C são colineares se e somente se os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} forem paralelos (ou se algum par tiver comprimento zero, caso dois pontos coincidam).
Vetores são paralelos quando um é múltiplo escalar do outro: existe \lambda tal que \overrightarrow{AB}=\lambda\,\overrightarrow{AC}.
Outra forma equivalente é: se existir t tal que A+t\,\overrightarrow{AB}=C (ou seja, C está na reta que passa por A na direção \overrightarrow{AB}).
Vou usar a verificação de múltiplo escalar porque é a maneira mais direta e aritmética (fácil de fazer na prova). Como checagem extra, mostrarei também o método do parâmetro e o produto vetorial (cross product) — assim você aprende três jeitos de pensar no mesmo teste.
Passo 3
Calcular os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}. Lembre que, em coordenadas, \overrightarrow{PQ}=Q-P componente a componente.
Se \overrightarrow{AB}=\lambda\,\overrightarrow{AC}, então componente a componente:3=\lambda\cdot 3,\qquad 3=\lambda\cdot 5,\qquad -1=\lambda\cdot 1.
Da primeira equação obtemos \lambda=1.
Substituindo \lambda=1 na segunda equação daria 3=5, o que é falso.
Portanto não existe \lambda que satisfaça todas as três igualdades ao mesmo tempo. Conclusão: \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} não são múltiplos escalares, logo não são paralelos.
Passo 5
Verificação via parâmetro (checagem alternativa, útil na prova):
A equação da reta que passa por A e B pode ser escrita como A+t\,\overrightarrow{AB}.
Procuramos t tal que A+t\,\overrightarrow{AB}=C. Isso dá o sistema componente a componente:-1+3t=2,\qquad -2+3t=3,\qquad 4-1\cdot t=5.
Resolver a primeira equação: -1+3t=2\Rightarrow 3t=3\Rightarrow t=1.
Com t=1, a segunda equação dá -2+3\cdot1=1, mas o lado direito precisa ser 3. Ou seja, 1\neq 3: contradição.
Portanto não existe um t comum que leve A até C seguindo a direção AB. Logo C não está na reta AB.
Passo 6
Verificação pelo produto vetorial (produto cruzado) — explicação rápida e cálculo:
Dois vetores em \mathbb{R}^3 são paralelos se e só se o seu produto vetorial for o vetor nulo.
Esse vetor não é o vetor nulo (0,0,0), então \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} não são paralelos. Isso confirma os resultados anteriores.
Passo 7
Interpretação final e ânimo: fizemos três testes diferentes (proporcionalidade direta, equação paramétrica da reta e produto vetorial) e TODOS mostraram que os vetores direção são diferentes — sinal claro de que os pontos não estão na mesma reta. Dá para confiar: três métodos chegando à mesma conclusão é reconfortante numa prova!