Um dado é viciado de modo que um número par é duas vezes mais provável que um número impar. Encontre a probabilidade de que um número primo ocorra.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos um dado viciado onde “um número par é duas vezes mais provável que um número ímpar”. Queremos achar a probabilidade de sair um número primo.
Matéria: Probabilidade básica com pesos diferentes para par e ímpar.
O que vamos precisar:
  1. Traduzir “par é duas vezes mais provável que ímpar” em uma relação de probabilidades.
  2. Dividir essa probabilidade igualmente entre as faces pares e ímpares.
  3. Somar as probabilidades das faces que são números primos (2, 3 e 5).

Passo 2

Traduzir a relação em variáveis. Seja P(par)P(ímpar)=2 a probabilidade de sair par e P(par) + P(ímpar) = 1 í a de sair ímpar. O enunciado diz:
í
Além disso, como “par” e “ímpar” cobrem todos os resultados, temos
í

Passo 3

Resolvendo o sistema:
P(par) = 2,P(ímpar) e 2,P(ímpar) + P(ímpar) = 1 ;Rightarrow; 3,P(ímpar)=1 ;Rightarrow; P(ímpar)=tfrac13, ííííí
P(par)=2cdottfrac13=tfrac23

Passo 4

Agora a gente reparte igualmente cada grupo entre suas 3 faces:
  • Cada face ímpar (1, 3, 5) tem probabilidade P(primo) = P(2) + P(3) + P(5) = tfrac29 + tfrac19 + tfrac19 = tfrac49
  • Cada face par (2, 4, 6) tem probabilidade
Os números primos no dado são 2, 3 e 5. Então

Resposta

A probabilidade de sair um número primo é

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