Sejam A e B eventos de
, tais que
e
. Calcular
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede várias coisas envolvendo dois eventos A e B em um espaço amostral S, com:
- P(A) = 0,5
- P(B) = 0,25
- P(A ∩ B) = 0,2
O conteúdo é probabilidade de união, interseção, complementares e probabilidade condicional. Para resolver a gente vai usar:
- Fórmula da união:
- Propriedade de complementar:
- Interseção com complementar:
- De Morgan (para dois complementares):
- Definição de probabilidade condicional:
A partir do próximo passo, bora calcular de fato cada item.
Passo 2
Calcular
.
Usando a fórmula da união:
Usando a fórmula da união:
Explicando: somamos as probabilidades de A e B e subtraímos a parte que ficou contada duas vezes, que é
.
Passo 3
Calcular
.
Primeiro, é o “não B”. A interseção
é a parte de A que não está em B.
Primeiro,
Isso faz sentido: a parte de A que sobra quando tiramos o que está em A ∩ B.
Passo 4
Calcular
.
Pela lei de De Morgan, a interseção dos complementares é o complementar da união:
Pela lei de De Morgan, a interseção dos complementares é o complementar da união:
Aqui, a gente tira do total (1) tudo que está em A ou em B, e sobra quem não está nem em A nem em B.
Passo 5
Calcular
.
Definição de condicional:
Definição de condicional:
Já temos
. Falta
.
Então:
Então:
Passo 6
Calcular
.
Mesmo esquema:
Mesmo esquema:
Já temos numerador
. E
.
Resposta
P(A ∪ B) = 0,55
P(A ∩ Bᶜ) = 0,30
P(Aᶜ ∩ Bᶜ) = 0,45
P(Aᶜ | Bᶜ) = 0,60
P(Bᶜ | Aᶜ) = 0,90
P(A ∩ Bᶜ) = 0,30
P(Aᶜ ∩ Bᶜ) = 0,45
P(Aᶜ | Bᶜ) = 0,60
P(Bᶜ | Aᶜ) = 0,90