Sejam A e B eventos de S, tais que P(A)=0,5, P(B)=0,25 e P(A cap B)=0,2. Calcular P(A cup B), P(A cap B^c), P(A^c cap B^c), P(A^c mid B^c) e P(B^c mid A^c).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede várias coisas envolvendo dois eventos A e B em um espaço amostral S, com:
  • P(A) = 0,5
  • P(B) = 0,25
  • P(A ∩ B) = 0,2
O conteúdo é probabilidade de união, interseção, complementares e probabilidade condicional. Para resolver a gente vai usar:
  1. Fórmula da união:
P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)
  1. Propriedade de complementar:
P(A^c) = 1 - P(A), P(B^c) = 1 - P(B)
  1. Interseção com complementar:
P(A cap B^c) = P(A) - P(A cap B)
  1. De Morgan (para dois complementares):
P(A^c cap B^c) = 1 - P(A cup B)
  1. Definição de probabilidade condicional:
P(X mid Y) = P(X cap Y)P(Y)
A partir do próximo passo, bora calcular de fato cada item.

Passo 2

Calcular P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B) = 0,5 + 0,25 - 0,2 = 0,55 .
Usando a fórmula da união:
Explicando: somamos as probabilidades de A e B e subtraímos a parte que ficou contada duas vezes, que é .

Passo 3

Calcular P(A cap B^c) = P(A) - P(A cap B) = 0,5 - 0,2 = 0,3 .
Primeiro, é o “não B”. A interseção é a parte de A que não está em B.
Isso faz sentido: a parte de A que sobra quando tiramos o que está em A ∩ B.

Passo 4

Calcular P(A^c cap B^c) = 1 - P(A cup B) = 1 - 0,55 = 0,45 .
Pela lei de De Morgan, a interseção dos complementares é o complementar da união:
Aqui, a gente tira do total (1) tudo que está em A ou em B, e sobra quem não está nem em A nem em B.

Passo 5

Calcular P(A^c mid B^c) = P(A^c cap B^c)P(B^c) .
Definição de condicional:
P(A^c mid B^c) = 0,450,75 = 0,6
Já temos . Falta .
Então:

Passo 6

Calcular P(B^c mid A^c) = P(A^c cap B^c)P(A^c) .
Mesmo esquema:
P(B^c mid A^c) = 0,450,5 = 0,9
Já temos numerador . E .

Resposta

P(A ∪ B) = 0,55
P(A ∩ Bᶜ) = 0,30
P(Aᶜ ∩ Bᶜ) = 0,45
P(Aᶜ | Bᶜ) = 0,60
P(Bᶜ | Aᶜ) = 0,90

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