Uma empresa de tecnologia está considerando a possibilidade de implementar um sistema de infraestrutura inteligente em uma área específica da cidade de São Paulo. Uma das condições para a implementação do sistema é a aprovação de um projeto de rede de fibra ótica que conecte a área ao centro de dados da cidade. Se a prefeitura aprovar o projeto da rede, há uma alta probabilidade de que a empresa implemente o sistema inteligente. Caso contrário, a probabilidade de implementação é menor.
As informações fornecidas para o projeto são: Se a prefeitura aprovar o projeto da rede de fibra ótica, há 90 % de chance de que a empresa implemente o sistema inteligente. Se a prefeitura não aprovar o projeto, a chance de implementação do sistema inteligente é de 20 %. A probabilidade de que a prefeitura aprove o projeto da rede de fibra ótica é de 60 %. Com base nas informações acima, determine a probabilidade de que, se o sistema inteligente foi implementado, o projeto da rede de fibra ótica tenha sido aprovado pela prefeitura.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede:
– Uma empresa só implementa o sistema inteligente com probabilidade de 90% se a prefeitura aprovar o projeto de fibra ótica.
– Se a prefeitura não aprovar, essa chance cai para 20%.
– A chance de aprovação do projeto é 60%.
Pergunta: sabendo que o sistema foi implementado, qual a probabilidade de que a prefeitura tenha aprovado o projeto?
Conteúdo: probabilidade condicional e Teorema de Bayes. Vamos precisar da fórmula de Bayes e da regra da probabilidade total.

Passo 2

Definindo eventos:
A = “prefeitura aprovou o projeto”
B = “sistema inteligente foi implementado”
O que queremos é P(Amid B), ou seja, a probabilidade de A acontecer sabendo que B ocorreu.

Passo 3

Teoria:
  1. Probabilidade condicional: P(Amid B)=P(A cap B)P(B)
  2. E a gente sabe que P(A cap B)=P(Bmid A),P(A),
    3) Para achar P(B) usamos a Regra da Probabilidade Total:
    P(B)=P(Bmid A),P(A)+P(Bmid A^c),P(A^c),

Passo 4

Vamos substituir os valores:
P(A)=0,6 (60%)
P(A^c)=0,4 (40%)
P(Bmid A)=0,9 (90%)
P(Bmid A^c)=0,2 (20%)
Calculando P(B):
P(B)=0,9cdot0,6 ;+;0,2cdot0,4 =0,54 +0,08 =0,62,

Passo 5

Agora aplicamos Bayes:
P(Amid B) =P(Bmid A),P(A)P(B) =0,9times0,60,62 =0,540,62 =2731approx0,8710,

Resposta

A probabilidade de que o projeto tenha sido aprovado dado que o sistema foi implementado é
boxed2731approx87,10%

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