Um dado é viciado da seguinte forma:
A Probabilidade de ocorrer i é i^291, para i=1,2,3,4,5,6.
Experimento 1: lança-se um dado viciado, e se define-se a variável aleatória:
X: Ocorreu um número Múltiplo de 3.
Experimento 2: lança-se um dado viciado 4 vezes, e se define-se a variável aleatória:
Y: Número de vezes que ocorreu um número ímpar.
Assim, determine se cada uma das seguintes afirmações é ou Verdadeira (V), ou Falsa (F):
E(4 X)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um dado viciado onde a probabilidade de sair cada número de 1 a 6 é dada por i^291. Precisamos analisar duas situações:
  1. Experimento 1: Lançar o dado uma vez e definir a variável aleatória X como 1 se sair um múltiplo de 3 e 0 caso contrário.
  2. Experimento 2: Lançar o dado 4 vezes e definir a variável aleatória Y como o número de vezes que sai um número ímpar.
A missão é descobrir se a expectativa de 4X é menor que a de 34Y, ou seja, se E(4X) < E(34 Y) é verdadeiro ou falso. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a expectativa de X, ou seja, E(X).
A variável X representa se saiu um múltiplo de 3 no lançamento do dado. No dado de 6 faces, os múltiplos de 3 são 3 e 6.
A probabilidade de sair 3 é 3^291 = 991 e a de sair 6 é 6^291 = 3691.
Então, a probabilidade de X = 1 é a soma dessas probabilidades:
P(X = 1) = 991 + 3691 = 4591
Como X só pode ser 0 ou 1, a expectativa de X é:
E(X) = 1 cdot P(X = 1) + 0 cdot P(X = 0) = 4591

Passo 3

Agora, vamos calcular E(Y), a expectativa de Y.
A variável Y conta quantas vezes saem números ímpares em 4 lançamentos. Os números ímpares no dado são 1, 3 e 5.
Vamos primeiro achar a probabilidade de sair um número ímpar em um único lançamento:
P(ímpar) = P(1) + P(3) + P(5) = 191 + 991 + 2591 = 3591 = 513 í
Como temos 4 lançamentos e cada lançamento é independente, Y segue uma distribuição binomial com n = 4 e p = 513.
A expectativa de uma variável binomial é dada por E(Y) = n cdot p:
E(Y) = 4 cdot 513 = 2013

Passo 4

Vamos calcular agora E(4X) e E(34 Y).
Primeiro, multiplicamos a expectativa de X por 4:
E(4X) = 4 cdot E(X) = 4 cdot 4591 = 18091 approx 1.978
Depois, multiplicamos a expectativa de Y por 34:
E(34 Y) = 34 cdot E(Y) = 34 cdot 2013 = 6052 = 1513 approx 1.154

Passo 5

Agora, vamos comparar E(4X) com E(34 Y):
E(4X) approx 1.978 E(34 Y) approx 1.154
Claramente, 1.978 é maior que 1.154.

Resposta

A afirmação é Falsa.

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