Um dado é viciado da seguinte forma:
A Probabilidade de ocorrer
é
, para
.
Experimento 1: lança-se um dado viciado, e se define-se a variável aleatória:
: Ocorreu um número Múltiplo de 3.
Experimento 2: lança-se um dado viciado 4 vezes, e se define-se a variável aleatória:
: Número de vezes que ocorreu um número ímpar.
Assim, determine se cada uma das seguintes afirmações é ou Verdadeira (V), ou Falsa (F):
A Probabilidade de ocorrer
Experimento 1: lança-se um dado viciado, e se define-se a variável aleatória:
Experimento 2: lança-se um dado viciado 4 vezes, e se define-se a variável aleatória:
Assim, determine se cada uma das seguintes afirmações é ou Verdadeira (V), ou Falsa (F):
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um dado viciado onde a probabilidade de sair cada número de 1 a 6 é dada por
. Precisamos analisar duas situações:
- Experimento 1: Lançar o dado uma vez e definir a variável aleatória
como 1 se sair um múltiplo de 3 e 0 caso contrário. - Experimento 2: Lançar o dado 4 vezes e definir a variável aleatória
como o número de vezes que sai um número ímpar.
A missão é descobrir se a expectativa de
é menor que a de
, ou seja, se
é verdadeiro ou falso. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a expectativa de
, ou seja,
.
A variável
representa se saiu um múltiplo de 3 no lançamento do dado. No dado de 6 faces, os múltiplos de 3 são 3 e 6.
A probabilidade de sair 3 é
e a de sair 6 é
.
Então, a probabilidade de
é a soma dessas probabilidades:
Como
só pode ser 0 ou 1, a expectativa de
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular
, a expectativa de
.
A variável
conta quantas vezes saem números ímpares em 4 lançamentos. Os números ímpares no dado são 1, 3 e 5.
Vamos primeiro achar a probabilidade de sair um número ímpar em um único lançamento:
Como temos 4 lançamentos e cada lançamento é independente,
segue uma distribuição binomial com
e
.
A expectativa de uma variável binomial é dada por
:
Passo 4
Vamos calcular agora
e
.
Primeiro, multiplicamos a expectativa de
por 4:
Depois, multiplicamos a expectativa de
por
:
Passo 5
Agora, vamos comparar
com
:
Claramente,
é maior que
.
Resposta
A afirmação é Falsa.