Um dado é viciado da seguinte forma:
A Probabilidade de ocorrer i é i^291, para i=1,2,3,4,5,6.
Experimento 1: lança-se um dado viciado, e se define-se a variável aleatória:
X: Ocorreu um número Múltiplo de 3.
Experimento 2: lança-se um dado viciado 4 vezes, e se define-se a variável aleatória:
Y: Número de vezes que ocorreu um número ímpar.
Assim, determine se cada uma das seguintes afirmações é ou Verdadeira (V), ou Falsa (F):
E(Y) <= V(2 Y)E(2 X)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um dado viciado onde a probabilidade de sair cada número de 1 a 6 é dada por i^291. Temos dois experimentos:
  1. Experimento 1: Jogamos o dado uma vez e definimos a variável aleatória X que representa se saiu um múltiplo de 3.
  2. Experimento 2: Jogamos o dado 4 vezes e definimos a variável aleatória Y que conta quantas vezes saiu um número ímpar.
A gente precisa verificar se a afirmação E(Y) <= V(2 Y)E(2 X) é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos precisar calcular a esperança ( E) e a variância ( V) das variáveis X e Y.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a esperança de Y, ou seja, E(Y). Como estamos jogando o dado 4 vezes e cada jogada é independente, Y segue uma distribuição binomial com n=4 tentativas.
Mas antes disso, precisamos saber a probabilidade de sair um número ímpar em uma única jogada. Os números ímpares no dado são 1, 3 e 5.
A probabilidade de sair cada número é i^291, então:
P(ímpar) = P(1) + P(3) + P(5) = 1^291 + 3^291 + 5^291 = 1 + 9 + 2591 = 3591 = 513 í
Agora, a esperança de Y em uma binomial é dada por E(Y) = n cdot p, onde n=4 e p=513:
E(Y) = 4 cdot 513 = 2013 approx 1,54

Passo 3

Agora, vamos calcular a variância de 2Y, ou seja, V(2Y). Sabemos que para uma variável aleatória Y, V(aY) = a^2V(Y).
Primeiro, precisamos da variância de Y. Para uma binomial, a variância é V(Y) = n cdot p cdot (1 - p):
V(Y) = 4 cdot 513 cdot (1 - 513) = 4 cdot 513 cdot 813 = 160169
Então,
V(2Y) = 2^2 cdot V(Y) = 4 cdot 160169 = 640169 approx 3,79

Passo 4

Agora, vamos calcular a esperança de 2X, ou seja, E(2X). Primeiro, precisamos da esperança de X.
A variável X indica se saiu um múltiplo de 3 em uma única jogada. Os múltiplos de 3 no dado são 3 e 6.
Então, a probabilidade de sair um múltiplo de 3 é:
P(múú
A esperança de X é:
E(X) = 1 cdot P(X=1) + 0 cdot P(X=0) = P(X=1) = 513
Então,
E(2X) = 2 cdot E(X) = 2 cdot 513 = 1013 approx 0,77

Passo 5

Agora, vamos calcular V(2Y)E(2X):
V(2Y)E(2X) = 6401691013 = 640169 cdot 1310 = 640 cdot 13169 cdot 10
Simplificando:
640 cdot 13169 cdot 10 = 83201690 = 832169 approx 4,923

Passo 6

Agora, vamos comparar E(Y) com V(2Y)E(2X):
E(Y) = 2013 approx 1,54
V(2Y)E(2X) approx 4,923
Vemos que 1,54 <= 4,923 é verdadeiro.

Resposta

Verdadeira (V)

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