Um dado é viciado da seguinte forma:
A Probabilidade de ocorrer
é
, para
.
Experimento 1: lança-se um dado viciado, e se define-se a variável aleatória:
: Ocorreu um número Múltiplo de 3.
Experimento 2: lança-se um dado viciado 4 vezes, e se define-se a variável aleatória:
: Número de vezes que ocorreu um número ímpar.
Assim, determine se cada uma das seguintes afirmações é ou Verdadeira (V), ou Falsa (F):
A Probabilidade de ocorrer
Experimento 1: lança-se um dado viciado, e se define-se a variável aleatória:
Experimento 2: lança-se um dado viciado 4 vezes, e se define-se a variável aleatória:
Assim, determine se cada uma das seguintes afirmações é ou Verdadeira (V), ou Falsa (F):
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um dado viciado onde a probabilidade de sair cada número de 1 a 6 é dada por
. Temos dois experimentos:
- Experimento 1: Jogamos o dado uma vez e definimos a variável aleatória
que representa se saiu um múltiplo de 3. - Experimento 2: Jogamos o dado 4 vezes e definimos a variável aleatória
que conta quantas vezes saiu um número ímpar.
A gente precisa verificar se a afirmação
é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos precisar calcular a esperança (
) e a variância (
) das variáveis
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a esperança de
, ou seja,
. Como estamos jogando o dado 4 vezes e cada jogada é independente,
segue uma distribuição binomial com
tentativas.
Mas antes disso, precisamos saber a probabilidade de sair um número ímpar em uma única jogada. Os números ímpares no dado são 1, 3 e 5.
A probabilidade de sair cada número é
, então:
Agora, a esperança de
em uma binomial é dada por
, onde
e
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a variância de
, ou seja,
. Sabemos que para uma variável aleatória
,
.
Primeiro, precisamos da variância de
. Para uma binomial, a variância é
:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular a esperança de
, ou seja,
. Primeiro, precisamos da esperança de
.
A variável
indica se saiu um múltiplo de 3 em uma única jogada. Os múltiplos de 3 no dado são 3 e 6.
Então, a probabilidade de sair um múltiplo de 3 é:
A esperança de
é:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos comparar
com
:
Vemos que
é verdadeiro.
Resposta
Verdadeira (V)