Um dado é viciado da seguinte forma:
A Probabilidade de ocorrer
é
, para
.
Experimento 1: lança-se um dado viciado, e se define-se a variável aleatória:
: Ocorreu um número Múltiplo de 3.
Experimento 2: lança-se um dado viciado 4 vezes, e se define-se a variável aleatória:
: Número de vezes que ocorreu um número ímpar.
Assim, determine se cada uma das seguintes afirmações é ou Verdadeira (V), ou Falsa (F):
A Probabilidade de ocorrer
Experimento 1: lança-se um dado viciado, e se define-se a variável aleatória:
Experimento 2: lança-se um dado viciado 4 vezes, e se define-se a variável aleatória:
Assim, determine se cada uma das seguintes afirmações é ou Verdadeira (V), ou Falsa (F):
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um dado viciado, onde a probabilidade de cada número sair é proporcional ao quadrado desse número. A gente tem dois experimentos:
- Experimento 1: Lançar o dado uma vez e ver se saiu um múltiplo de 3.
- Experimento 2: Lançar o dado quatro vezes e contar quantas vezes saiu um número ímpar.
A nossa missão é descobrir se a seguinte afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F):
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade, como probabilidade condicional e distribuição binomial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as probabilidades básicas do dado viciado. Sabemos que a probabilidade de sair cada número $ i $ no dado é:
Vamos verificar se as probabilidades somam 1:
Então, está tudo certo!
Passo 3
Experimento 1: Definimos a variável aleatória $ X $ como o evento de sair um múltiplo de 3 em um lançamento.
Os múltiplos de 3 entre 1 e 6 são 3 e 6. Então, a probabilidade de $ X $ acontecer ($ P(X) $) é a soma das probabilidades de sair 3 ou 6:
Entretanto, o enunciado pede $ P(0 < X) $, que significa a probabilidade de que $ X $ ocorra, ou seja, a probabilidade de sair um múltiplo de 3:
Passo 4
Experimento 2: Agora, definimos a variável aleatória $ Y $ como o número de vezes que sai um número ímpar em quatro lançamentos do dado.
Primeiro, vamos identificar os números ímpares no dado: 1, 3 e 5.
A probabilidade de sair um número ímpar ($ p $) é:
Como estamos lançando o dado 4 vezes, $ Y $ segue uma distribuição binomial $ B(n=4, p=\frac{5}{13}) $.
Passo 5
Queremos calcular $ P(0 < Y \leq 4) $, que na verdade é a probabilidade de que pelo menos um lançamento resulte em número ímpar. Isso é o complemento da probabilidade de não sair nenhum número ímpar em 4 lançamentos.
Então,
Calculando $ P(Y = 0) $:
Agora,
Passo 6
Vamos agora calcular os valores numéricos para facilitar a comparação.
Primeiro, calculamos $ P(0 < Y \leq 4) $:
Agora, calculamos $ \frac{P(0 < Y \leq 4)}{4} $:
E como já vimos,
Passo 7
Agora, com os valores calculados, vamos comparar:
Claramente,
Resposta
Verdadeira (V). A desigualdade
é verdadeira.