Um dado é viciado da seguinte forma:
A Probabilidade de ocorrer i é i^291, para i=1,2,3,4,5,6.
Experimento 1: lança-se um dado viciado, e se define-se a variável aleatória:
X: Ocorreu um número Múltiplo de 3.
Experimento 2: lança-se um dado viciado 4 vezes, e se define-se a variável aleatória:
Y: Número de vezes que ocorreu um número ímpar.
Assim, determine se cada uma das seguintes afirmações é ou Verdadeira (V), ou Falsa (F):
P(0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um dado viciado, onde a probabilidade de cada número sair é proporcional ao quadrado desse número. A gente tem dois experimentos:
  1. Experimento 1: Lançar o dado uma vez e ver se saiu um múltiplo de 3.
  2. Experimento 2: Lançar o dado quatro vezes e contar quantas vezes saiu um número ímpar.
A nossa missão é descobrir se a seguinte afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F):
P(0 < Y <= 4)4 < P(0 < X)
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade, como probabilidade condicional e distribuição binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as probabilidades básicas do dado viciado. Sabemos que a probabilidade de sair cada número $ i $ no dado é:
i
Vamos verificar se as probabilidades somam 1:
P(i) = i^291, para i = 1,2,3,4,5,6
Então, está tudo certo!

Passo 3

Experimento 1: Definimos a variável aleatória $ X $ como o evento de sair um múltiplo de 3 em um lançamento.
Os múltiplos de 3 entre 1 e 6 são 3 e 6. Então, a probabilidade de $ X $ acontecer ($ P(X) $) é a soma das probabilidades de sair 3 ou 6:
X
Entretanto, o enunciado pede $ P(0 < X) $, que significa a probabilidade de que $ X $ ocorra, ou seja, a probabilidade de sair um múltiplo de 3:
X

Passo 4

Experimento 2: Agora, definimos a variável aleatória $ Y $ como o número de vezes que sai um número ímpar em quatro lançamentos do dado.
Primeiro, vamos identificar os números ímpares no dado: 1, 3 e 5.
A probabilidade de sair um número ímpar ($ p $) é:
Y
Como estamos lançando o dado 4 vezes, $ Y $ segue uma distribuição binomial $ B(n=4, p=\frac{5}{13}) $.

Passo 5

Queremos calcular $ P(0 < Y \leq 4) $, que na verdade é a probabilidade de que pelo menos um lançamento resulte em número ímpar. Isso é o complemento da probabilidade de não sair nenhum número ímpar em 4 lançamentos.
Então,
P(0 < Y <= 4)
Calculando $ P(Y = 0) $:
P(0 < Y <= 4) = 1 - P(Y = 0)
Agora,
P(Y = 0)

Passo 6

Vamos agora calcular os valores numéricos para facilitar a comparação.
Primeiro, calculamos $ P(0 < Y \leq 4) $:
P(0 < Y <= 4)
Agora, calculamos $ \frac{P(0 < Y \leq 4)}{4} $:
P(0 < Y <= 4) = 1 - (813)^4 approx 1 - (0,6154)^4 approx 1 - 0,142 approx 0,858
E como já vimos,
P(0 < Y <= 4)4

Passo 7

Agora, com os valores calculados, vamos comparar:
P(0 < Y <= 4)4 approx 0,2145 e P(0 < X) approx 0,4945
Claramente,
0,2145 < 0,4945

Resposta

Verdadeira (V). A desigualdade P(0 < Y <= 4)4 < P(0 < X) é verdadeira.

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