Um dado é viciado de tal forma que a probabilidade de dar seisé 1 / 5, sendo os demais resultados equiprováveis. Jogando-se esse dado juntamente com o dado normal, calcule a probabilidade de que
(b) tenha dado ponto 6 no dado viciado, sabendo que a soma dos pontos seja superior a 9 .

Passo 1

Beleza, aqui o que o enunciado diz: a gente tem dois dados jogados juntos – um é “viciado”, com chance de sair 6 igual a P(Amid B) = P(Acap B)P(B) e os outros cinco resultados (1, 2, 3, 4 e 5) todos com a mesma probabilidade; o outro é um dado normal (cada face com probabilidade ). A pergunta (item b) é: “Qual a probabilidade de o dado viciado ter dado 6, sabendo que a soma dos dois resultados é maior que 9?” Isso cai em Probabilidade Condicional.
O que vamos usar:
  • Definição de evento condicionado:
  • Independência entre os lançamentos (viciado e normal são independentes).
  • Regra do produto para eventos independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as probabilidades individuais do dado viciado (chamo de P(X=k)=tfrac455=425, k=1,2,3,4,5) e do normal (chamo de P(Y=k)=16, k=1,2,3,4,5,6):
  • Para :
    • Os outros cinco valores dividem igualmente o restante , ou seja cada um vale
  • Para (dado justo):

Passo 3

Agora vamos calcular P(X=x,,Y=y)=P(X=x),P(Y=y), ou seja P(X=4,Y=6)=425cdot16=4150=275,. As únicas somas possíveis maiores que 9 são 10, 11 e 12. Vamos listar os pares P(X=6,Y=4)=15cdot16=130, com P(soma>9)=3cdot275+3cdot130 = 675 + 330 = 675 + 7.575 = 13.575 = 27150 = 950:
  • Soma = 10: .
  • Soma = 11: .
  • Soma = 12: .
Como e são independentes,
Calculemos cada um:
  • Para e e : mesmo valor para e .
  • Para , e : idem para e .
Agora somamos tudo:

Passo 4

Precisamos de P(X=6,;X+Y>9) =3cdot P(X=6,Y=4,5 ou 6) =3cdot130 =330 =110. Isso corresponde só aos pares com que já listamos: . Então:

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da condicional:
Pl(X=6 mid X+Y>9r) = P(X=6 ,wed>=, X+Y>9)P(X+Y>9) = tfrac110tfrac950 = 110;times;509 = 59

Resposta

A probabilidade pedida é .

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