Uma empresa de desenvolvimento urbano está considerando a possibilidade de construir um centro comercial na região de São Paulo. Uma condição para que essa obra seja realizada é a construção de uma estrada que une a região ao centro da cidade. Se a prefeitura aprova a construção da estrada, há uma probabilidade de 0,90 de que a empresa construa o centro comercial, no entanto se a estrada não é aprovada a probabilidade é de 0,20 . Baseado na informação disponível, o presidente da empresa estima que há uma probabilidade de 0,60 de que a construção da estrada seja aprovada pela prefeitura.
© Se o centro comercial foi construído, qual é a probabilidade de que a estrada não tenha sido aprovada pela prefeitura?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o enunciado e vendo o que a gente precisa.
– Enunciado: A prefeitura pode aprovar (A) ou não aprovar (Aᶜ) a estrada. Se aprovam, a empresa constrói o centro (B) com probabilidade 0,90; se não aprovam, constrói com probabilidade 0,20. Além disso, P(A)=0,60.
– Conteúdo: probabilidade condicional e Teorema de Bayes.
– O que precisamos: calcular P(Aᶜ | B), ou seja, a chance de a estrada não ter sido aprovada dado que o centro comercial foi construído.

Passo 2

Definindo certinho os eventos e as probabilidades que já temos:
A = “estrada é aprovada”
Aᶜ = “estrada não é aprovada”
B = “centro comercial é construído”
Dados:
P(A) = 0,60
P(Aᶜ) = 1 – P(A) = 0,40
P(B | A) = 0,90
P(B | Aᶜ) = 0,20

Passo 3

Vamos lembrar da Lei da Probabilidade Total para P(B):
P(B) = P(A),P(B|A) ;+; P(Aᶜ),P(B|Aᶜ)
Isso serve para achar a probabilidade de construir o centro em geral, sem condicionar.

Passo 4

Calcular P(B) usando os valores:
P(B) = (0,60)(0,90) + (0,40)(0,20) = 0,54 + 0,08 = 0,62

Passo 5

Agora aplicamos o Teorema de Bayes pra achar P(Aᶜ | B):
P(Aᶜ mid B) = P(Aᶜ),P(B mid Aᶜ)P(B) = 0,40 times 0,200,62 = 0,080,62
Se simplificar a fração:
0,080,62 = 862 = 431 approx 0,1290

Resposta

A probabilidade de a estrada não ter sido aprovada, sabendo que o centro comercial foi construído, é aproximadamente 0,129 (ou 12,9%).

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