Uma empresa de desenvolvimento urbano está considerando a possibilidade de construir um centro comercial na região de São Paulo. Uma condição para que essa obra seja realizada é a construção de uma estrada que une a região ao centro da cidade. Se a prefeitura aprova a construção da estrada, há uma probabilidade de 0,90 de que a empresa construa o centro comercial, no entanto se a estrada não é aprovada a probabilidade é de 0,20 . Baseado na informação disponível, o presidente da empresa estima que há uma probabilidade de 0,60 de que a construção da estrada seja aprovada pela prefeitura.
© Se o centro comercial foi construído, qual é a probabilidade de que a estrada não tenha sido aprovada pela prefeitura?
© Se o centro comercial foi construído, qual é a probabilidade de que a estrada não tenha sido aprovada pela prefeitura?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o enunciado e vendo o que a gente precisa.
– Enunciado: A prefeitura pode aprovar (A) ou não aprovar (Aᶜ) a estrada. Se aprovam, a empresa constrói o centro (B) com probabilidade 0,90; se não aprovam, constrói com probabilidade 0,20. Além disso, P(A)=0,60.
– Conteúdo: probabilidade condicional e Teorema de Bayes.
– O que precisamos: calcular P(Aᶜ | B), ou seja, a chance de a estrada não ter sido aprovada dado que o centro comercial foi construído.
– Enunciado: A prefeitura pode aprovar (A) ou não aprovar (Aᶜ) a estrada. Se aprovam, a empresa constrói o centro (B) com probabilidade 0,90; se não aprovam, constrói com probabilidade 0,20. Além disso, P(A)=0,60.
– Conteúdo: probabilidade condicional e Teorema de Bayes.
– O que precisamos: calcular P(Aᶜ | B), ou seja, a chance de a estrada não ter sido aprovada dado que o centro comercial foi construído.
Passo 2
Definindo certinho os eventos e as probabilidades que já temos:
A = “estrada é aprovada”
Aᶜ = “estrada não é aprovada”
B = “centro comercial é construído”
A = “estrada é aprovada”
Aᶜ = “estrada não é aprovada”
B = “centro comercial é construído”
Dados:
P(A) = 0,60
P(Aᶜ) = 1 – P(A) = 0,40
P(B | A) = 0,90
P(B | Aᶜ) = 0,20
P(A) = 0,60
P(Aᶜ) = 1 – P(A) = 0,40
P(B | A) = 0,90
P(B | Aᶜ) = 0,20
Passo 3
Vamos lembrar da Lei da Probabilidade Total para P(B):
Isso serve para achar a probabilidade de construir o centro em geral, sem condicionar.
Passo 4
Calcular P(B) usando os valores:
Passo 5
Agora aplicamos o Teorema de Bayes pra achar P(Aᶜ | B):
Se simplificar a fração:
Resposta
A probabilidade de a estrada não ter sido aprovada, sabendo que o centro comercial foi construído, é aproximadamente 0,129 (ou 12,9%).