Um dado é viciado de tal forma que a probabilidade de dar seisé 1 / 5, sendo os demais resultados equiprováveis. Jogando-se esse dado juntamente com o dado normal, calcule a probabilidade de que
(a) a soma dos pontos seja igual a 10 .

Passo 1

Beleza, a questão diz que a gente lança dois dados ao mesmo tempo:
  • Um dado viciado, onde a chance de sair 6 é 1/5 e os outros números (1,2,3,4,5) são todos iguais entre si.
  • Um dado normal, com probabilidade 1/6 em cada face.
    O que ele quer saber (conteúdo de Probabilidade) é: qual a probabilidade de a soma dos pontos dos dois dados dar exatamente 10?
    Para resolver, vamos usar:
  1. Como distribuir as probabilidades no dado viciado.
  2. Quais pares de resultados somam 10.
  3. Regra do produto (eventos independentes) e soma de probabilidades de eventos mutuamente exclusivos.

Passo 2

Primeiro, a distribuição do dado viciado:
  • P(6 no viciado) = tfrac15.
  • O total que sobra para as faces 1,2,3,4,5 é 1 - tfrac15 = tfrac45.
  • Como essas cinco faces são equiprováveis, cada uma tem probabilidade
P(i no viciado) = tfrac455 = 425, i=1,2,3,4,5
No dado normal, para cada face j=1,dots,6, vale
P(j no normal) = 16

Passo 3

Agora, quais pares (i,j) com i do viciado e j do normal dão soma 10?
Precisamos de i + j = 10. As opções possíveis são:
  • (4,6)
  • (5,5)
  • (6,4)

Passo 4

Como os lançamentos são independentes, a probabilidade de cada par é o produto das probabilidades individuais.
  1. Para (4,6):
P(4 viciado)cdot P(6 normal) = 425cdot16 = 4150
  1. Para (5,5):
P(5 viciado)cdot P(5 normal) = 425cdot16 = 4150
  1. Para (6,4):
P(6 viciado)cdot P(4 normal) = 15cdot16 = 130 = 5150
Agora somamos essas três probabilidades (são eventos mutuamente exclusivos, ou seja, não podem acontecer ao mesmo tempo):
4150 + 4150 + 5150 = 13150

Resposta

A probabilidade de a soma ser igual a 10 é boxedtfrac13150.

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