Um dado é viciado, de tal forma que a probabilidade de sair um certo ponto é proporcional ao seu valor (por exemplo, o ponto 6 é 3 vezes mais provável de sair do que o ponto 2). Calcular:
a) A probabilidade de sair 5, sabendo-se que o ponto que saiu é ímpar.
b) A probabilidade de sair número par, sabendo-se que saiu um número maior que 3.
c) Se você ganha 10 reais se sair um número par e perde 10 reais se sair ímpar, seria um jogo justo utilizando esse dado? Com quais valores de prêmio você aceitaria jogar com esse dado?
a) A probabilidade de sair 5, sabendo-se que o ponto que saiu é ímpar.
b) A probabilidade de sair número par, sabendo-se que saiu um número maior que 3.
c) Se você ganha 10 reais se sair um número par e perde 10 reais se sair ímpar, seria um jogo justo utilizando esse dado? Com quais valores de prêmio você aceitaria jogar com esse dado?
Passo 1
O enunciado descreve um dado viciado em que a probabilidade de cada face
é proporcional a
. Precisamos usar:
– Normalização de probabilidades para obter .
– Probabilidade condicional .
– Cálculo do valor esperado de um jogo para verificar se é justo.
– Normalização de probabilidades para obter
– Probabilidade condicional
– Cálculo do valor esperado de um jogo para verificar se é justo.
Passo 2
Como
, temos
Dessa forma,
Passo 3
Calcular
:
Passo 4
Calcular
:
Passo 5
Para o jogo em que se ganha
reais se sair par e perde
reais se sair ímpar, o valor esperado é
Como
, o jogo não é justo: o jogador tem vantagem.
Passo 6
Para que o jogo seja justo, suponha prêmio
em caso de par e perda
em caso de ímpar. Deve valer
Se
, então
. O jogador aceitará jogar sempre que
Resposta
a)
b)
c) Não é justo, pois o valor esperado é . Para tornar o jogo justo com perda fixa de
reais em caso de ímpar, o prêmio em caso de par deve ser
reais. Dessa forma, o jogador somente aceitaria se o prêmio
satisfizer
.
b)
c) Não é justo, pois o valor esperado é