Um dado é viciado, de tal forma que a probabilidade de sair um certo ponto é proporcional ao seu valor (por exemplo, o ponto 6 é 3 vezes mais provável de sair do que o ponto 2). Calcular:
a) A probabilidade de sair 5, sabendo-se que o ponto que saiu é ímpar.
b) A probabilidade de sair número par, sabendo-se que saiu um número maior que 3.
c) Se você ganha 10 reais se sair um número par e perde 10 reais se sair ímpar, seria um jogo justo utilizando esse dado? Com quais valores de prêmio você aceitaria jogar com esse dado?

Passo 1

O enunciado descreve um dado viciado em que a probabilidade de cada face i é proporcional a i. Precisamos usar:
– Normalização de probabilidades para obter P(i).
– Probabilidade condicional ,P(Amid B)=P(Acap B)P(B).
– Cálculo do valor esperado de um jogo para verificar se é justo.

Passo 2

Como P(i)propto i, temos
P(i)=isumj=1^6j=i21
Dessa forma,
P(ímpar)=P(1)+P(3)+P(5)=1+3+521=921=37, í
P(par)=P(2)+P(4)+P(6)=2+4+621=1221=47,
P(>3)=P(4)+P(5)+P(6)=4+5+621=1521=57

Passo 3

Calcular P(5mid ímpar)í:
P(5mid ímpar) =P(5cap ímpar)P(ímpar) =P(5)P(ímpar) =tfrac521tfrac37 =521cdot73 =59 íííí

Passo 4

Calcular P(parmid >3):
P(parmid >3) =P(parcap >3)P(>3) =P(4)+P(6)P(>3) =tfrac421+tfrac621tfrac57 =tfrac1021tfrac57 =1021cdot75 =23

Passo 5

Para o jogo em que se ganha 10 reais se sair par e perde 10 reais se sair ímpar, o valor esperado é
E =10cdot P(par)-10cdot P(ímpar) =10l(47-37r) =107>0 í
Como E>0, o jogo não é justo: o jogador tem vantagem.

Passo 6

Para que o jogo seja justo, suponha prêmio R em caso de par e perda L em caso de ímpar. Deve valer
Rcdot P(par)-Lcdot P(ímpar)=0 Longrightarrow R47=L37 Longrightarrow RL=34 í
Se L=10, então R=7,5. O jogador aceitará jogar sempre que
R>= 34,L Longrightarrow R>= 7,5 (com L=10)

Resposta

a) tfrac59
b) tfrac23
c) Não é justo, pois o valor esperado é 10/7>0. Para tornar o jogo justo com perda fixa de 10 reais em caso de ímpar, o prêmio em caso de par deve ser 7,5 reais. Dessa forma, o jogador somente aceitaria se o prêmio R satisfizer R>=7,5.

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