Números de cinco algarismos distintos são formados a partir dos algarismos 0,1,2, 3,4,5,6 e 7 . Qual a probabilidade do número formado ser maior que 53000 ?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de um número de cinco algarismos, todos distintos e escolhidos de 0,1,2,3,4,5,6,7, ser maior que 53000.
Conteúdo: contagem de permutações com restrições (primeiro dígito não pode ser zero, todos os dígitos distintos) e cálculo de probabilidade como razão entre casos favoráveis e casos totais.

Passo 2

Contamos primeiro o total de números de cinco dígitos distintos formados com esses algarismos.
  • O primeiro dígito pode ser qualquer um de 1,2,3,4,5,6,7, ou seja, 7 escolhas.
  • Após escolher o primeiro dígito, restam 7 algarismos disponíveis para o segundo dígito, 6 para o terceiro, 5 para o quarto e 4 para o quinto.
    Logo, o total de números possíveis é
Ntotal = 7 times 7 times 6 times 5 times 4 = 5880

Passo 3

Agora contamos quantos desses números são maiores que 53000.
Dividimos em dois casos conforme o primeiro dígito d1:
Caso A: d1>5
  • As escolhas possíveis são d1in6,7, ou seja, 2 opções.
  • Para cada escolha de d1, os demais dígitos podem ser quaisquer dos 7 restantes no segundo lugar, 6 no terceiro, 5 no quarto e 4 no quinto.
    Portanto
NA = 2 times (7 times 6 times 5 times 4) = 2 times 840 = 1680
Caso B: d1=5
Para que o número seja maior que 53000, basta que o segundo dígito d2 seja >=3. Como 5 já foi usado em d1, as opções de d2 em 0,1,2,3,4,6,7 que satisfazem d2>2 são 3,4,6,7, total de 4 escolhas.
  • Após fixar (d1,d2), restam 6 dígitos disponíveis para d3, 5 para d4 e 4 para d5.
    Logo
NB = 1 times 4 times (6 times 5 times 4) = 4 times 120 = 480
Somando os dois casos, o número de casos favoráveis é
Nfav = NA + NB = 1680 + 480 = 2160

Passo 4

A probabilidade pedida é
P = NfavNtotal = 21605880 = 1849

Resposta

1849

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