Use aproximação linear para estimar f(x+\Delta x, y+\Delta y), para cada função f e para os valores indicados x_{0} e y_{0}, \Delta x e \Delta y.
f(x, y)=x^{3}-5 x^{2}+6 x y para x_{0}=1 y_{0}=-2, \Delta x=0,07 e \Delta y=0,02

Passo 1

O enunciado pede: usar aproximação linear para estimar f(x+\Delta x,y+\Delta y) para a função e os valores dados. Os dados fornecidos são:
  • Função: f(x,y)=x^{3}-5x^{2}+6xy.
  • Ponto base: x_{0}=1, y_{0}=-2.
  • Incrementos: \Delta x=0,07, \Delta y=0,02.
A tarefa é calcular a aproximação linear (linearização) de f no ponto (x_{0},y_{0}) e avaliar essa aproximação em (x_{0}+\Delta x,\,y_{0}+\Delta y).

Passo 2

Apresentar a fórmula da aproximação linear e explicar o que cada termo significa.
A aproximação linear (linearização) de uma função f(x,y) em torno do ponto (x_{0},y_{0}) diz que, para incrementos pequenos \Delta x e \Delta y,
f(x_{0}+\Delta x,\,y_{0}+\Delta y)\approx f(x_{0},y_{0})+f_{x}(x_{0},y_{0})\,\Delta x+f_{y}(x_{0},y_{0})\,\Delta y.
Explicação dos símbolos:
  • f(x_{0},y_{0}) é o valor da função no ponto base.
  • f_{x}(x_{0},y_{0}) é a derivada parcial de f em relação a x, avaliada em (x_{0},y_{0}). Interpretação: taxa de variação de f quando x muda e y fica fixo.
  • f_{y}(x_{0},y_{0}) é a derivada parcial de f em relação a y, avaliada em (x_{0},y_{0}). Interpretação: taxa de variação de f quando y muda e x fica fixo.
  • \Delta x,\Delta y são os pequenos incrementos dados.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais simbólicas de f.
A função é f(x,y)=x^{3}-5x^{2}+6xy.
Derivando em relação a x (tratando y como constante):
f_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}-5x^{2}+6xy\bigr)=3x^{2}-10x+6y.
Derivando em relação a y (tratando x como constante):
f_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}-5x^{2}+6xy\bigr)=6x.
Aqui usei regras básicas de derivação:
  • \dfrac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}.
  • \dfrac{d}{dx}(-5x^{2})=-10x.
  • \dfrac{d}{dx}(6xy)=6y porque y é constante ao derivar em x.
  • Ao derivar em y, x^{3} e -5x^{2} são constantes (derivada zero) e \dfrac{d}{dy}(6xy)=6x.

Passo 4

Avaliar f, f_{x} e f_{y} no ponto (x_{0},y_{0})=(1,-2).
Calcular f(1,-2):
f(1,-2)=1^{3}-5\cdot1^{2}+6\cdot1\cdot(-2)=1-5-12=-16.
Calcular f_{x}(1,-2):
f_{x}(1,-2)=3\cdot1^{2}-10\cdot1+6\cdot(-2)=3-10-12=-19.
Calcular f_{y}(1,-2):
f_{y}(1,-2)=6\cdot1=6.
Resumo numérico: f(1,-2)=-16, f_{x}(1,-2)=-19, f_{y}(1,-2)=6.

Passo 5

Montar a expressão da aproximação linear usando os valores obtidos.
Aplicando a fórmula
f(1+\Delta x,\, -2+\Delta y)\approx f(1,-2)+f_{x}(1,-2)\,\Delta x+f_{y}(1,-2)\,\Delta y,
substituindo os números:
f(1+0,07,\,-2+0,02)\approx -16 + (-19)\cdot0,07 + 6\cdot0,02.

Passo 6

Calcular as multiplicações com decimais passo a passo (sem calculadora).
Calcular (-19)\cdot0,07:
  • Primeiro 19\cdot7=133.
  • Como 0,07 tem duas casas decimais, colocar a vírgula duas casas da direita: 133\to1,33.
  • Com sinal negativo: (-19)\cdot0,07=-1,33.
Calcular 6\cdot0,02:
  • 6\cdot2=12.
  • Como 0,02 tem duas casas decimais, colocar a vírgula duas casas: 12\to0,12.
  • Logo 6\cdot0,02=0,12.
Somar os incrementos:
-1,33+0,12=-1,21.

Passo 7

Obter o valor aproximado somando ao valor base.
f(1+0,07,\,-2+0,02)\approx -16 + (-1,21) = -17,21.
Interpretação curta: a aproximação linear diz que a função diminui cerca de 1,21 ao aplicar esses pequenos incrementos, saindo de -16 para aproximadamente -17,21. Como \Delta x e \Delta y são pequenos, essa aproximação costuma ser bastante precisa. Força aí — o procedimento é esse que normalmente cai na prova: calcule f e as parciais no ponto e aplique a fórmula da linearização.

Resposta

-17,21

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