Use aproximação linear para estimar
, para cada função
e para os valores indicados
e
e
.
para
e
Passo 1
O enunciado pede: usar aproximação linear para estimar
para a função e os valores dados. Os dados fornecidos são:
- Função:
. - Ponto base:
, . - Incrementos:
, .
A tarefa é calcular a aproximação linear (linearização) de
no ponto
e avaliar essa aproximação em
.
Passo 2
Apresentar a fórmula da aproximação linear e explicar o que cada termo significa.
A aproximação linear (linearização) de uma função
em torno do ponto
diz que, para incrementos pequenos
e
,
Explicação dos símbolos:
-
é o valor da função no ponto base. -
é a derivada parcial de em relação a , avaliada em . Interpretação: taxa de variação de quando muda e fica fixo. -
é a derivada parcial de em relação a , avaliada em . Interpretação: taxa de variação de quando muda e fica fixo. -
são os pequenos incrementos dados.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais simbólicas de
.
A função é
.
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Derivando em relação a
(tratando
como constante):
Aqui usei regras básicas de derivação:
-
. -
. -
porque é constante ao derivar em . - Ao derivar em
, e são constantes (derivada zero) e .
Passo 4
Avaliar
,
e
no ponto
.
Calcular
:
Calcular
:
Calcular
:
Resumo numérico:
,
,
.
Passo 5
Montar a expressão da aproximação linear usando os valores obtidos.
Aplicando a fórmula
substituindo os números:
Passo 6
Calcular as multiplicações com decimais passo a passo (sem calculadora).
Calcular
:
- Primeiro
. - Como
tem duas casas decimais, colocar a vírgula duas casas da direita: . - Com sinal negativo:
.
Calcular
:
-
. - Como
tem duas casas decimais, colocar a vírgula duas casas: . - Logo
.
Somar os incrementos:
Passo 7
Obter o valor aproximado somando ao valor base.
Interpretação curta: a aproximação linear diz que a função diminui cerca de
ao aplicar esses pequenos incrementos, saindo de
para aproximadamente
. Como
e
são pequenos, essa aproximação costuma ser bastante precisa. Força aí — o procedimento é esse que normalmente cai na prova: calcule
e as parciais no ponto e aplique a fórmula da linearização.