Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva de interseção entre a superfície e o plano nos pontos dados.
A superfície z=\sqrt{31-2 x^{2}-3 y^{2}} e o plano y=2 no ponto (3,2,1)
Passo 1
O enunciado pede o coeficiente angular da reta tangente à curva que é a interseção entre a superfície z=\sqrt{31-2x^{2}-3y^{2}} e o plano y=2 no ponto (3,2,1).
Informações dadas:
A superfície: z=\sqrt{31-2x^{2}-3y^{2}}.
O plano: y=2.
Ponto onde queremos a tangente: (3,2,1). (Verificar: substituindo x=3 e y=2 em z dá z=\sqrt{31-2\cdot3^{2}-3\cdot2^{2}}=\sqrt{31-18-12}=\sqrt{1}=1, então o ponto está na curva.)
O que se pede:
O coeficiente angular (ou seja, a inclinação dz/dx da reta tangente projetada no plano xz quando y está fixo em 2) da reta tangente à curva de interseção naquele ponto.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática, sem pular etapas).
A curva de interseção é obtida fazendo y=2 na expressão de z. Assim obtemos uma função unidimensional z(x) que descreve a curva dentro do plano y=2.
O coeficiente angular da reta tangente nessa curva no ponto dado é simplesmente a derivada \dfrac{dz}{dx} avaliada no ponto x=3 (já que y é constante igual a 2).
Vou mostrar passo a passo como obter z(x), como derivar (aplicando a regra da cadeia) e depois avaliar em x=3. Também mostro, como reforço, o método alternativo usando derivadas parciais.
Passo 3
Obter a função unidimensional da curva no plano y=2. Substituir y=2 em z=\sqrt{31-2x^{2}-3y^{2}}:
Comentário didático: aqui simplesmente fixei a variável y porque o plano de interseção impõe y=2. Agora a curva é dada por um gráfico de z em função de x.
Passo 4
Derivar z(x)=\sqrt{19-2x^{2}} com respeito a x. Vou relembrar a regra da cadeia de forma simples:
Se g(x)=\sqrt{u(x)}=u(x)^{1/2}, então g'(x)=\tfrac{1}{2}u(x)^{-1/2}\cdot u'(x).
Explicação extra (didática): a derivada de uma raiz é metade da raiz ao expoente -1 vezes a derivada do que está dentro. A conta foi feita passo a passo para que dê pra reproduzir na prova sem erro.
Passo 5
Avaliar \dfrac{dz}{dx} no ponto x=3 (com y=2 já fixo). Substituindo x=3 na expressão obtida:
Comentário interpretativo e método alternativo (reforço didático).
Interpretação: como y está fixo em 2, a curva vive no plano paralelo ao eixo x-z; a inclinação da reta tangente nessa curva é \dfrac{dz}{dx} e encontramos -6.
Método alternativo (mais rápido em provas): para uma superfície z=f(x,y), ao mover-se numa curva com y constante vale \dfrac{dz}{dx}=f_{x}(x,y) (porque dy/dx=0). Calculando a derivada parcial: