Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva de interseção entre a superfície e o plano nos pontos dados.
A superfície z=\sqrt{31-2 x^{2}-3 y^{2}} e o plano y=2 no ponto (3,2,1)

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente angular da reta tangente à curva que é a interseção entre a superfície z=\sqrt{31-2x^{2}-3y^{2}} e o plano y=2 no ponto (3,2,1).
Informações dadas:
  • A superfície: z=\sqrt{31-2x^{2}-3y^{2}}.
  • O plano: y=2.
  • Ponto onde queremos a tangente: (3,2,1). (Verificar: substituindo x=3 e y=2 em z z=\sqrt{31-2\cdot3^{2}-3\cdot2^{2}}=\sqrt{31-18-12}=\sqrt{1}=1, então o ponto está na curva.)
O que se pede:
  • O coeficiente angular (ou seja, a inclinação dz/dx da reta tangente projetada no plano xz quando y está fixo em 2) da reta tangente à curva de interseção naquele ponto.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática, sem pular etapas).
  • A curva de interseção é obtida fazendo y=2 na expressão de z. Assim obtemos uma função unidimensional z(x) que descreve a curva dentro do plano y=2.
  • O coeficiente angular da reta tangente nessa curva no ponto dado é simplesmente a derivada \dfrac{dz}{dx} avaliada no ponto x=3 (já que y é constante igual a 2).
  • Vou mostrar passo a passo como obter z(x), como derivar (aplicando a regra da cadeia) e depois avaliar em x=3. Também mostro, como reforço, o método alternativo usando derivadas parciais.

Passo 3

Obter a função unidimensional da curva no plano y=2. Substituir y=2 em z=\sqrt{31-2x^{2}-3y^{2}}:
z(x)=\sqrt{31-2x^{2}-3\cdot 2^{2}}=\sqrt{31-2x^{2}-12}=\sqrt{19-2x^{2}}.
Comentário didático: aqui simplesmente fixei a variável y porque o plano de interseção impõe y=2. Agora a curva é dada por um gráfico de z em função de x.

Passo 4

Derivar z(x)=\sqrt{19-2x^{2}} com respeito a x. Vou relembrar a regra da cadeia de forma simples:
  • Se g(x)=\sqrt{u(x)}=u(x)^{1/2}, então g'(x)=\tfrac{1}{2}u(x)^{-1/2}\cdot u'(x).
  • No nosso caso u(x)=19-2x^{2} e u'(x)=-4x.
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{dz}{dx}=\frac{1}{2}(19-2x^{2})^{-1/2}\cdot(-4x)=\frac{-4x}{2\sqrt{19-2x^{2}}}=\frac{-2x}{\sqrt{19-2x^{2}}}.
Explicação extra (didática): a derivada de uma raiz é metade da raiz ao expoente -1 vezes a derivada do que está dentro. A conta foi feita passo a passo para que dê pra reproduzir na prova sem erro.

Passo 5

Avaliar \dfrac{dz}{dx} no ponto x=3 (com y=2 já fixo). Substituindo x=3 na expressão obtida:
\frac{dz}{dx}\Bigg|_{x=3}=\frac{-2\cdot 3}{\sqrt{19-2\cdot 3^{2}}}=\frac{-6}{\sqrt{19-18}}=\frac{-6}{\sqrt{1}}=-6.

Passo 6

Comentário interpretativo e método alternativo (reforço didático).
  • Interpretação: como y está fixo em 2, a curva vive no plano paralelo ao eixo x- z; a inclinação da reta tangente nessa curva é \dfrac{dz}{dx} e encontramos -6.
  • Método alternativo (mais rápido em provas): para uma superfície z=f(x,y), ao mover-se numa curva com y constante vale \dfrac{dz}{dx}=f_{x}(x,y) (porque dy/dx=0). Calculando a derivada parcial:
f_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{31-2x^{2}-3y^{2}}=\frac{1}{2}(31-2x^{2}-3y^{2})^{-1/2}\cdot(-4x)=\frac{-2x}{\sqrt{31-2x^{2}-3y^{2}}}.
Avaliado em (3,2) \dfrac{-6}{1}=-6, mesma resposta. Isso mostra consistência entre os métodos.

Resposta

-6

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