Dado x>0, mostre que existe n in N, tal que x>1 / n>0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que, dado um número $ x > 0 $, existe um número natural $ n $ tal que $ x > \frac{1}{n} > 0 $. Vamos usar conceitos de matemática básica sobre números naturais e propriedades das frações para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que os números naturais são aqueles que usamos para contar: $ 1, 2, 3, \dots $. Quanto maior o $ n $, menor será o valor de $ \frac{1}{n} $. Isso porque, à medida que o denominador aumenta, a fração diminui.

Passo 3

Como $ x > 0 $, queremos encontrar um $ n $ tal que $ \frac{1}{n} $ seja menor que $ x $. Para isso, podemos rearranjar a inequação $ \frac{1}{n} < x $ para encontrar uma condição para $ n $:
x > 0

Passo 4

Agora, sabemos que $ \frac{1}{x} $ é um número positivo porque $ x > 0 $. Queremos um número natural $ n $ maior que $ \frac{1}{x} $. Como os números naturais continuam aumentando sem limite, sempre podemos encontrar um $ n $ que satisfaça essa condição.

Passo 5

Por exemplo, podemos escolher $ n $ como o menor número natural maior que $ \frac{1}{x} $. Isso garante que $ n > \frac{1}{x} $, e portanto:
n

Resposta

Assim, mostramos que existe um número natural $ n $ tal que $ x > \frac{1}{n} > 0 $.

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