Encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial (x+4y^2),dy + 2y,dx = 0. O conteúdo principal é ODE de primeira ordem, linear em x quando a tratamos como função de y. Vamos precisar reescrever a equação em formato dx/dy + P(y)x = Q(y) e usar fator integrante.

Passo 2

Reescrevemos a equação dividindo por dy:
2ydxdy + (x + 4y^2) = 0
que equivale a
dxdy + 12y,x = -2y
Aqui identificamos P(y)=1/(2y) e Q(y)=-2y.

Passo 3

Para a ODE linear dx/dy + P(y)x = Q(y), o fator integrante é
mu(y) = e^integral P(y),dy = e^integral 12ydy = e^tfrac12ln|y| = raiz|y|
Vamos escolher o ramo y>0 para manter tudo real e simples.

Passo 4

Multiplicando a ODE por mu(y)=raizy, obtemos:
raizydxdy + 12raizyx = -2y^3/2
O lado esquerdo é a derivada do produto:
ddyl(xraizyr) = -2y^3/2
Integrando em relação a y:
xraizy = integral -2y^3/2dy = -45y^5/2 + C

Passo 5

Isolando a solução geral, escrevemos de forma implícita:
xraizy + 45y^5/2 = C
Essa é a família de soluções definidas em qualquer intervalo onde y>0. De modo análogo, teríamos outra família em intervalos com y<0.

Resposta

A solução geral é
xraizy + tfrac45y^5/2 = C,
definida em intervalos onde y>0 (e, separadamente, em intervalos onde y<0).

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