Encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
. O conteúdo principal é ODE de primeira ordem, linear em
quando a tratamos como função de
. Vamos precisar reescrever a equação em formato
e usar fator integrante.
Passo 2
Reescrevemos a equação dividindo por
:
que equivale a
Aqui identificamos
e
.
Passo 3
Para a ODE linear
, o fator integrante é
Vamos escolher o ramo
para manter tudo real e simples.
Passo 4
Multiplicando a ODE por
, obtemos:
O lado esquerdo é a derivada do produto:
Integrando em relação a
:
Passo 5
Isolando a solução geral, escrevemos de forma implícita:
Essa é a família de soluções definidas em qualquer intervalo onde
. De modo análogo, teríamos outra família em intervalos com
.
Resposta
A solução geral é
definida em intervalos onde
(e, separadamente, em intervalos onde
).