Encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.

Passo 1

Temos a equação diferencial x^2y'+xy=1, que é uma equação linear de primeira ordem. O conteúdo envolvido é resolução de ED linear usando método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos em forma padrão dividindo todos os termos por x^2 (válido para xneq0):
y'+1xy=1x^2

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x)=e^integral1xdx=|x|. Para escolher o sinal, consideramos separadamente os casos x>0 ou x<0, garantindo que xneq0.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x)=x (no caso x>0) e obtemos:
x,y'+y=1x

Passo 5

Reconhecemos o lado esquerdo como derivada de x,y:
ddx(x,y)=1x

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a x:
x,y=integral1xdx=ln|x|+C

Passo 7

Isolamos y para chegar à solução geral:
y=ln|x|+Cx

Passo 8

A solução é válida em qualquer intervalo que não contenha x=0, por exemplo (0,infty) ou
((-\infty,0)), onde mantemos mu(x)=x ou mu(x)=-x consistente.

Resposta

A solução geral é y(x)=ln|x|+Cx, definida em qualquer intervalo onde xneq0 (por exemplo x>0 ou x<0).

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