Encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.
Passo 1
Temos a equação diferencial
, que é uma equação linear de primeira ordem. O conteúdo envolvido é resolução de ED linear usando método do fator integrante.
Passo 2
Colocamos em forma padrão dividindo todos os termos por
(válido para
):
Passo 3
Calculamos o fator integrante
. Para escolher o sinal, consideramos separadamente os casos
ou
, garantindo que
.
Passo 4
Multiplicamos a equação padrão por
(no caso
) e obtemos:
Passo 5
Reconhecemos o lado esquerdo como derivada de
:
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
Passo 7
Isolamos
para chegar à solução geral:
Passo 8
A solução é válida em qualquer intervalo que não contenha
, por exemplo
ou
((-\infty,0)), onde mantemos ou
consistente.
((-\infty,0)), onde mantemos
Resposta
A solução geral é
, definida em qualquer intervalo onde
(por exemplo
ou
).