Suponha que
e
são dois números racionais quaisquer, com
. Seja
.
(a) Prove que
é irracional.
(a) Prove que
Passo 1
O enunciado define dois números racionais quaisquer
e coloca
. Estamos lidando com propriedades de números racionais e irracionais, em especial que
é irracional e que soma de racional com irracional é irracional.
Passo 2
Suponha, para chegar a um absurdo, que
seja racional. Então
também é racional, pois é diferença de dois racionais.
Como , temos que
Como
Passo 3
O lado esquerdo é quociente de dois números racionais (logo racional), logo
seria racional.
Mas se é racional, então
seria racional (pois é o inverso de um racional), o que contradiz o fato bem conhecido de que
é irracional.
Mas se
Resposta
x é irracional.