Suponha que a e b são dois números racionais quaisquer, com a. Seja x=a+1raiz2(b-a).
(a) Prove que x é irracional.

Passo 1

O enunciado define dois números racionais quaisquer a e coloca x = a + 1raiz2(b-a). Estamos lidando com propriedades de números racionais e irracionais, em especial que raiz2 é irracional e que soma de racional com irracional é irracional.

Passo 2

Suponha, para chegar a um absurdo, que x seja racional. Então x-a também é racional, pois é diferença de dois racionais.
Como x-a = 1raiz2(b-a), temos que
x - ab - a = 1raiz2

Passo 3

O lado esquerdo é quociente de dois números racionais (logo racional), logo 1/raiz2 seria racional.
Mas se 1/raiz2 é racional, então raiz2 seria racional (pois é o inverso de um racional), o que contradiz o fato bem conhecido de que raiz2 é irracional.

Resposta

x é irracional.

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