Dado
é uma solução particular de
. Se resolvermos o Problema de valor inicial que satisfaz as condições iniciais
e
, encontraremos as constantes que compõem a solução geral.
A soma de C1+C2 encontrado é:
Escolha uma opção:
◯ a. 0
◯ b. 1
◯ c.
◯ d. -1
◯ e.
◯ a. 0
◯ b. 1
◯ c.
◯ d. -1
◯ e.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- Dado: a função particular
é uma solução particular da equação diferencial . - Condições iniciais do problema de valor inicial:
e . - O que se pede: encontrar a soma das constantes
que aparecem na solução geral associada ao problema.
Passo 2
Ideia geral (sem calcular ainda): por ser uma equação linear de segunda ordem não homogênea, a solução geral é a soma da solução geral da homogênea com uma solução particular. Ou seja,
Aqui já foi dada
, então precisamos achar
, a solução da equação homogênea
Passo 3
Resolver a homogênea usando a técnica padrão: supor soluções exponenciais
. Substituindo em
obtemos a equação característica
As raízes são
. Portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias a determinar pelas condições iniciais.
Passo 4
Montar a solução geral completa somando homogênea e particular:
Agora calculamos a derivada necessária para aplicar a condição em
. Derivando termo a termo:
Explicando rápido:
,
e
.
Passo 5
Aplicar as condições iniciais para obter um sistema para
e
.
Usando
:
Usando
:
Temos o sistema linear
Passo 6
Resolver o sistema. Somando as duas equações:
Substituindo em
dá
Portanto os coeficientes são
e
.
Resposta
b.