Dado y_{p} t=t^{2} é uma solução particular de y^{\prime \prime}-y=f(t). Se resolvermos o Problema de valor inicial que satisfaz as condições iniciais y(0)=1 e y^{\prime}(0)=0, encontraremos as constantes que compõem a solução geral.
A soma de C1+C2 encontrado é:
Escolha uma opção:
◯ a. 0
◯ b. 1
◯ c. -1 / 2
◯ d. -1
◯ e. 1 / 2

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Dado: a função particular \,y_p(t)=t^{2}\, é uma solução particular da equação diferencial \,y''-y=f(t).
  • Condições iniciais do problema de valor inicial: \,y(0)=1\, e \,y'(0)=0\,.
  • O que se pede: encontrar a soma das constantes \,C_1+C_2\, que aparecem na solução geral associada ao problema.

Passo 2

Ideia geral (sem calcular ainda): por ser uma equação linear de segunda ordem não homogênea, a solução geral é a soma da solução geral da homogênea com uma solução particular. Ou seja,
y(t)=y_h(t)+y_p(t).
Aqui já foi dada \,y_p(t)=t^{2}\,, então precisamos achar \,y_h(t), a solução da equação homogênea
y''-y=0.

Passo 3

Resolver a homogênea usando a técnica padrão: supor soluções exponenciais \,y=e^{rt}\,. Substituindo em \,y''-y=0\, obtemos a equação característica
r^{2}-1=0.
As raízes são \,r=\pm 1\,. Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_1 e^{t}+C_2 e^{-t},
onde \,C_1 e \,C_2 são constantes arbitrárias a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Montar a solução geral completa somando homogênea e particular:
y(t)=C_1 e^{t}+C_2 e^{-t}+t^{2}.
Agora calculamos a derivada necessária para aplicar a condição em \,y'(0). Derivando termo a termo:
y'(t)=C_1 e^{t}-C_2 e^{-t}+2t.
Explicando rápido: \dfrac{d}{dt}e^{t}=e^{t}, \dfrac{d}{dt}e^{-t}=-e^{-t} e \dfrac{d}{dt}t^{2}=2t.

Passo 5

Aplicar as condições iniciais para obter um sistema para \,C_1 e \,C_2.
Usando \,y(0)=1\,:
y(0)=C_1 e^{0}+C_2 e^{0}+0^{2}=C_1+C_2=1.
Usando \,y'(0)=0\,:
y'(0)=C_1 e^{0}-C_2 e^{0}+0=C_1-C_2=0.
Temos o sistema linear
\begin{cases} C_1+C_2=1,\\[4pt] C_1-C_2=0. \end{cases}]

Passo 6

Resolver o sistema. Somando as duas equações:
(C_1+C_2)+(C_1-C_2)=1+0 \quad\Rightarrow\quad 2C_1=1 \quad\Rightarrow\quad C_1=\tfrac{1}{2}.
Substituindo em C_1-C_2=0
\tfrac{1}{2}-C_2=0 \quad\Rightarrow\quad C_2=\tfrac{1}{2}.
Portanto os coeficientes são C_1=\tfrac{1}{2} e C_2=\tfrac{1}{2}.

Resposta

b. 1

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