Em um laboratório de robótica, estudantes de Ciência da Computação estão desenvolvendo um sistema de estabilização para um braço robótico que transporta pequenos componentes eletrônicos.
O movimento vertical do braço pode ser modelado por um sistema massa-mola sem amortecimento. Durante um teste, observou-se que o deslocamento
do braço em relação à posição de equilíbrio satisfaz a seguinte equação diferencial:
Onde
é o deslocamento do braço (em centímetros), e t é o tempo em segundos.
No instante inicial:
o braço é deslocado 2 cm acima da posição de equilíbrio;
a velocidade inicial é zero.
Determine a função
que descreve o movimento do braço robótico.
Escolha uma opção:
◯ a.
cost -2 sent
◯ b.
◯ C.
◯ d.
◯ e.
Onde
No instante inicial:
o braço é deslocado 2 cm acima da posição de equilíbrio;
a velocidade inicial é zero.
Determine a função
◯ a.
◯ b.
◯ C.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial e as condições iniciais. Vou listar isso claramente:
- Equação diferencial:
. - Variável:
é o deslocamento em centímetros e é o tempo em segundos. - Condições iniciais:
- deslocamento inicial:
(o braço foi deslocado cm acima do equilíbrio); - velocidade inicial:
.
O que o problema pede: determinar a funçãoque satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais, e escolher a opção correta entre as dadas.
- deslocamento inicial:
Passo 2
Escolhendo um método e explicando a ideia: para equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e homogêneas como
, uma técnica direta é propor uma solução do tipo
. Substituindo essa forma na equação obtemos a chamada equação característica (um polinômio em
) que determina os expoentes possíveis. Vamos fazer isso passo a passo.
Propor
. Então
e
. Substituindo em
dá
Dividindo por
(que nunca é zero) obtemos a equação característica
Resolver a equação característica:
implica
Como as raízes são complexas conjugadas
, a forma geral da solução real da equação diferencial é
onde
e
são constantes reais que serão determinadas pelas condições iniciais. Explicação rápida: as raízes
geram termos
e
; aqui
e
, por isso só aparecem
e
.
Passo 3
Agora aplicamos as condições iniciais para achar
e
.
Primeiro escrevo a derivada de
:
Usando
: substituo
em
. Como
e
,
Portanto
Usando
: substituo
em
. Como
e
,
Como
, segue
Assim determinamos as constantes:
e
.
Passo 4
Com
e
temos a solução particular que satisfaz as condições iniciais. Comparando com as opções dadas, a que coincide com esses coeficientes é a opção letra b.
Resposta
b.