Em um laboratório de robótica, estudantes de Ciência da Computação estão desenvolvendo um sistema de estabilização para um braço robótico que transporta pequenos componentes eletrônicos.
O movimento vertical do braço pode ser modelado por um sistema massa-mola sem amortecimento. Durante um teste, observou-se que o deslocamento x(t) do braço em relação à posição de equilíbrio satisfaz a seguinte equação diferencial:
x^{\prime \prime}+4 x=0
Onde \mathrm{x}(\mathrm{t}) é o deslocamento do braço (em centímetros), e t é o tempo em segundos.
No instante inicial:
o braço é deslocado 2 cm acima da posição de equilíbrio;
a velocidade inicial é zero.
Determine a função x(t) que descreve o movimento do braço robótico.
Escolha uma opção:
◯ a. x t=2 cost -2 sent
◯ b. x t=2 \cos 2 t
◯ C. x t=\cos 2 t+\operatorname{sen} 2 t
◯ d. x t=-2 \cos t
◯ e. x t=4 \operatorname{sen} 2 t

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial e as condições iniciais. Vou listar isso claramente:
  • Equação diferencial: x''+4x=0.
  • Variável: x(t) é o deslocamento em centímetros e t é o tempo em segundos.
  • Condições iniciais:
    • deslocamento inicial: x(0)=2 (o braço foi deslocado 2 cm acima do equilíbrio);
    • velocidade inicial: x'(0)=0.
      O que o problema pede: determinar a função x(t) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais, e escolher a opção correta entre as dadas.

Passo 2

Escolhendo um método e explicando a ideia: para equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e homogêneas como x''+4x=0, uma técnica direta é propor uma solução do tipo x(t)=e^{rt}. Substituindo essa forma na equação obtemos a chamada equação característica (um polinômio em r) que determina os expoentes possíveis. Vamos fazer isso passo a passo.
Propor x(t)=e^{rt}. Então x'(t)=r e^{rt} e x''(t)=r^{2} e^{rt}. Substituindo em x''+4x=0
r^{2} e^{rt} + 4 e^{rt}=0.
Dividindo por e^{rt} (que nunca é zero) obtemos a equação característica
r^{2}+4=0.
Resolver a equação característica: r^{2}=-4 implica
r=\pm 2i.
Como as raízes são complexas conjugadas \pm 2i, a forma geral da solução real da equação diferencial é
x(t)=C_{1}\cos(2t)+C_{2}\sin(2t),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais que serão determinadas pelas condições iniciais. Explicação rápida: as raízes a\pm bi geram termos e^{at}\cos(bt) e e^{at}\sin(bt); aqui a=0 e b=2, por isso só aparecem \cos(2t) e \sin(2t).

Passo 3

Agora aplicamos as condições iniciais para achar C_{1} e C_{2}.
Primeiro escrevo a derivada de x(t):
x'(t) = -2C_{1}\sin(2t) + 2C_{2}\cos(2t).
Usando x(0)=2: substituo t=0 em x(t). Como \cos(0)=1 e \sin(0)=0,
x(0)=C_{1}\cdot 1 + C_{2}\cdot 0 = C_{1}.
Portanto
C_{1}=2.
Usando x'(0)=0: substituo t=0 em x'(t). Como \sin(0)=0 e \cos(0)=1,
x'(0) = -2C_{1}\cdot 0 + 2C_{2}\cdot 1 = 2C_{2}.
Como x'(0)=0, segue
2C_{2}=0 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=0.
Assim determinamos as constantes: C_{1}=2 e C_{2}=0.

Passo 4

Com C_{1}=2 e C_{2}=0 temos a solução particular que satisfaz as condições iniciais. Comparando com as opções dadas, a que coincide com esses coeficientes é a opção letra b.

Resposta

b. x(t)=2\cos(2t)

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