(a) Determine qual ou quais das funções z_{1}(x)=x^{2}, z_{2}(x)=x^{3} e z_{3}(x)=e^{-x} são soluções da equação
(x+3) y^{\prime \prime}+(x+2) y^{\prime}-y=0
(b) Seja y_{1}(x) uma das soluções obtidas no item anterior. Determine uma segunda solução y_{2}(x) de forma que y_{1}(x) e y_{2}(x) sejam soluções fundamentais da equação.
(c) Determine a solução geral da equação
As perguntas são:(a) determinar quais dos z_{1},z_{2},z_{3}\) são soluções da equação;
(b) escolhendo uma solução \(y_{1}(x)\) obtida no item (a), encontrar uma segunda solução \(y_{2}(x)\) de modo que \(\{y_{1},y_{2}\}\) seja um conjunto fundamental de soluções;
\text{(c)} escrever a solução geral da equação e resolver o problema de valor inicial
\[\begin{cases} (x+3)y''+(x+2)y'-y=0,\\[4pt] y(1)=1,\; y'(1)=3. \end{cases}
Observação útil: a equação tem coeficiente principal x+3\], logo \(x=-3 é um ponto singular (não dividimos por zero). As manipulações e conclusões abaixo valem em intervalos que não contenham x=-3.]
Passo 2
Testar z_{1}(x)=x^{2}.
Calcular derivadas:
z_{1}'(x)=2x,\qquad z_{1}''(x)=2.
Substituir na equação:
(x+3)\cdot 2 + (x+2)\cdot 2x - x^{2}.
Desenvolvendo:
2x+6 + 2x^{2}+4x - x^{2} = x^{2}+6x+6.
Isto não é identicamente zero para todo x. Conclusão: z_{1}(x)=x^{2} não é solução da equação.
Portanto z_{3}(x)=e^{-x} satisfaz a equação para todo x. Conclusão do item (a): entre as três, apenas z_{3}(x)=e^{-x} é solução.
Passo 5
Agora, para o item (b), vamos obter uma segunda solução linearmente independente a partir de y_{1}(x)=e^{-x} usando o método da redução de ordem (explicado didaticamente).
Breve explicação do método da redução de ordem:
Para uma equação linear homogênea de segunda ordem em forma padrão
y''+p(x)y'+q(x)y=0,
seja y_{1}(x) uma solução conhecida. Procuramos y_{2}(x)=v(x)\,y_{1}(x) com v desconhecida. Ao substituir e simplificar, reduzimos o problema a uma equação de primeira ordem para w=v'. Essa equação é linear e integrável; resolvendo-a obtemos v por integração. O resultado prático (fórmula) é:
onde a constante multiplicativa dentro da integral gera apenas combinações lineares com y_{1}, portanto podemos escolhê-la convenientemente para obter uma solução independente.
Aplicando ao nosso caso:
Primeiro passamos a equação para a forma padrão dividindo por x+3 (assumindo x\neq-3):
Esse determinante não é identicamente zero em intervalos que não contenham x=-3, logo y_{1} e y_{2} são linearmente independentes ali e formam um conjunto fundamental de soluções.]
Passo 6
Item (c): solução geral e resolução do problema de valor inicial.
A solução geral de uma equação linear homogênea de segunda ordem é combinação linear das duas soluções fundamentais:
y(x)=C_{1}e^{-x}+C_{2}(x+2),
onde [C_{1},C_{2}) são constantes reais (definidas em um intervalo que não contenha x=-3).
Aplicar as condições iniciais y(1)=1 e y'(1)=3.
Primeiro calcule y'(x):
y'(x) = -C_{1}e^{-x} + C_{2}.
Avaliando em x=1:
y(1)=C_{1}e^{-1}+C_{2}(1+2)=C_{1}e^{-1}+3C_{2}=1,
y'(1)=-C_{1}e^{-1}+C_{2}=3.
Denote a=e^{-1}. O sistema linear é
\begin{cases} a C_{1} + 3C_{2} = 1,\\[4pt] -a C_{1} + C_{2} = 3. \end{cases}
Somando as duas equações:
4C_{2} = 4 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=1.
Substituindo em (-a C_{1}+C_{2}=3]: -a C_{1} + 1 = 3 \quad\Rightarrow\quad -a C_{1} = 2 \quad\Rightarrow\quad C_{1} = -\frac{2}{a} = -2e.
(a) Apenas z_{3}(x)=e^{-x} é solução da equação.
(b) Uma segunda solução linearmente independente é y_{2}(x)=x+2.
(c) Solução geral: y(x)=C_{1}e^{-x}+C_{2}(x+2). Solução do PVI: y(x)=x+2-2e^{1-x}.